22 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



bewiesen, dass {ha) nicht aus (ah) folgt, d.h. die Aussage »wenn a ^h, 

 so ist h =ê r^< ist nicht im Gruppenkalkul gültig; ein solcher Satz besteht 

 nicht oder m. a, W. ist nicht beweisbar. 



Beispiel 2. Es sei zu beweisen, dass die Subsumtion a {b -\- c) 

 =^ ab -j- ac (in Schröderscher Bezeichnung), die ja innerhalb des Klassen- 

 kalkuls allgemein gültig ist, im Gruppenkalkul nicht allgemein gültig 

 ist. In unsere Sprache übersetzt bedeutet diese Aufgabe folgendes: 

 Es sind die Tripel abd, ace, hcf, dec/ und af/i gegeben. Folgt daraus 

 nach den Axiomen I — VI das Paar {hg)'^ Um dies zu untersuchen 

 haben wir dann bloss die Axiome I — V so lange anzuwenden, bis 

 ein in Bezug auf diese Axiome geschlossenes System entsteht. Das 

 Axiom I gibt uns die Paare {aa) (hh) (cc) (dd) (ee) (ff) igg) {hJi). Die 

 Axiome III geben uns (da) (db) (ea) (ec) (bf) (cf) (dg) (eg) (ha) {Jif), und 

 dann bekommen wir nach II weiter (df) und (ef) und kraft IV+ auch (gf). 

 Dann können aber nicht mehr Paare oder Tripel aus den 5 gegebenen 

 Tripeln mit Hülfe von I — V gebildet werden. Unter den erhaltenen Paaren 

 kommt (Jig) nicht vor. Hierdurch ist die Nichtableitbarkeit von (Jig) aus 

 den 5 gegebenen Tripeln nach den Axiomen I — VI bewiesen oder m. a. W. 

 die Nichtbeweisbarkeit des sogenannten distributiven Gesetzes a (b •+- c) 

 ^ ab -i- ac innerhalb des Gruppenkalkuls. (Siehe Schröder, Algebra der 

 Logik, B. I, p. 642 und 686). 



Beispiel 3. Es sei zu beweisen, dass die im Klassenkalkul allgemein- 

 gültige Subsumtion (a + b) {a -j- c) (b + c) =ê f(b -f ac -f- bc im Gruppen- 

 kalkul nicht beweisbar ist. Wir haben dann zu zeigen: Wenn die Tripel 



a by, acß, be a, a by', ncß', h c a', aßd, dye, aß'd\ d'y'e' 



gegeben sind, ist daraus nicht das Paar (ee') mit Hülfe der Axiome I — V 

 ableitbar. Nach dem angegebenen Verfahren brauchen wir aber bloss 

 zu beweisen, dass (ee') nicht durch Anwendungen von I — V allein ableit- 

 bar ist. Wir bringen also I — V so lange in Anwendung, dass ein in Bezug 

 auf I — V geschlossenes System entsteht, indem wir von den 10 gegebenen 

 Tripeln ausgehen. Wir bekommen nun zuerst mit Hülfe von I alle von 

 den 13 Symbolen a, b, . . . gebildeten , Selbst' Paare (a a), (bb). . . . Kraft 

 III bekommen wir die Paare 

 (üy) (by) (aß) (cß) (ba) (Ca) (y'a) (y'b) (ß'a) (ß'c) (a'b) (a'c) (da) (dß) (ey) (ed) (a'd') 



(ß'd') (y'e') (d'e') 

 und durch Anwendung von II 



(ea) (eß) (a'e) (ß'e) (a'a) (aß) (a'y) (ß'a) (ß'ß) (ß'y) (y'a) (y'ß) (y'y) 

 und weiter durch IV 



{cd) (d'c) (ad) (ß'd) (yd) (a'e) (ß'e) (y'e) (d'a) (d'ß) (d'y) (d'd) (d'e) (ea) (eß) 



(e'y) (e'd) (ee), 



