igZO. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 23 



wodurch das System in Bezug auf I — V abgeschlossen ist. Da das Paar 

 (t'v) nicht auftritt, so ist also hierdurch die Xichtbeweisbarkeit des Satzes 

 {a-\-b)((i ■+- f\{h 4- t)=# ah-\-tic-]~ hc innerhalb des Gruppenkalkuls bewiesen. 



Dass wir wirklich mit liiilfe des in diesem Paragraphen angegebenen 

 Verfahrens imstande sind zu entscheiden, ob eine beliebig gegebene Aus- 

 sage im Gruppenkalkul gültig ist oder nicht, falls diese Aussage aus 

 Elementaraussagen, d. h. Relativkoeffizienten oder m. a, W. Paaren und 

 Tripeln (./'//), xi/i, xtjz, durch endlich viele Anwendungen von Konjunktion, 

 Disjunktion, Negation und Produktion gebildet ist — also unter Ausschluss 

 der Summation — iässt sich in folgenden Weise zeigen. 



Jede solche Aussage kann in der Form 



(i) II II ... II r [x^, . . . , Xr,) 



X, Xi x„ 



geschrieben werden, wo U {xx, . . . , Xn) eine Aussage ist, die aus Paaren 

 und Tripeln der Formen (xij), xijz xyz'^ durch endlich viele Anwendungen 

 von Konjunktion, Disjunktion und Negation aufgebaut ist. Jede solche 

 Aussage U Iässt sich aber wieder als ein Produkt (Konjunktion) von 

 endlich vielen Aussagen E^^, E^, . . . schreiben, wo jede der Aussagen E^ 

 aus Elementaraussagen mit Hülfe von Negation und Disjunktionen allein 

 gebildet ist. Die gegebene Aussage (i) wird dann mit der gleichzeitigen 

 Gültigkeit aller Aussagen der Form 



(2) II II...II E^{xu...,Xn) 



X, Xj Xjj 



gleichbedeutend sein. Statt zu untersuchen, ob (i) allgemein gültig ist, 

 braucht man also nur zu untersuchen, ob (2) für jeden Wert von ;■ gilt. 

 Es sei nun (3) II ... 11 E (^Xi, . . . , Xn) 



x, x„ 



eine dieser Aussagen (2). E Iässt sich dann als eine Summe (Disjunktion, 

 Alternative) endlich vieler Glieder schreiben, wo jedes Glied entweder eine 

 negierte oder eine nicht-negierte Elementaraussage ist. Es seien e^, Co, ... , 

 €p die in E auftretenden nicht negierten Elementaraussagen, während 

 ^ j.,» ^' .»•••)'' , die negierten sind, sodass also e ....... e , auch 



nicht-negierte Elementaraussagen sind. Dann bedeutet die ganze Aussage 

 E nur, dass entweder e^ oder co oder . . . oder c ^ gilt, falls e ^^, e ^g 

 usw. bis e , stattfinden. E hat also die Bedeutung einer Implikation; sie 



p+q ö t ' 



bedeutet in unserer kombinatorischen Sprache, dass falls diese oder jene 

 Paare und Tripel vorhanden sind, mindestens eines gewisser Paare und 

 Tripel vorhanden sind, und dass dies für beliebige Wahl der in den ge- 

 gebenen Paaren und Tripeln auftretenden ursprünglichen Symbole gelten 

 soll. Dies bedeutet wieder nur, dass mindestens eines der Paare und 



^ Diese Paare und Tripel nenne ich Elementaraussagen. 



