24 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Tripel e^ . . . e mit Hülfe der Axiome I — VI aus den Paaren und Tripeln 

 e ...... e . ableitbar sein soll. Das kann aber nach dem oben ange- 



p-i-l ' p + q o 



gebenen Verfahren immer entschieden werden. Man braucht ja nur zu 

 untersuchen, ob erstens e^ aus e , e , . . . , e _^ folgt, dann ob 62 aus 

 e ,, . . . e , folgt usw. bis ob e aus e , e , folgt. 



p+l p+q » p p+l' ' p+q fc> 



Es gibt aber einen speziellen Fall, der besonders betrachtet werden 

 muss, nämlich wenn alle in E auftretenden Elementaraussagen negiert sind, 

 also wenn die Zahl p ^o ist. Es ist aber klar, dass eine solche Aussage 

 nie eine allgemeingültige Formel des Gruppenkalkuls sein kann. Dies 

 rührt davon her, dass die aufgestellten Axiome sämmtlich in dem Sinne 

 positiv sind, dass sie alle davon reden, dass diese oder jene Paare oder Tripel 

 existieren sollen oder kraft der Existenz von anderen existieren sollen, 

 während sie nie aussagen, dass Paare oder Tripel nicht existieren sollen, 

 oder dass aus der Existenz von gewissen Paaren oder Tripeln die Nicht- 

 existenz von anderen folgten. Man kann deshalb immer Paare und Tripel 

 aus gewissen Symbolen gebildet nach Belieben einführen und nachher 

 die Axiome I — VI beliebig oft anv/enden, ohne dass man dadurch jemals 

 zu einem Wiederspruch kommen würde. Es kann deshalb eine Aussage 

 der Form 77 . , . /7 (ëi + êo + . • . 4- ë ), 



wo ei,e2,,...,e nicht-negierte Elementaraussagen über x^, x-i, . . ., x^ sind, 

 im Gruppenkalkul nicht beweisbar sein. 



3- 



Ein Verfahren zu entscheiden, ob ein gegebener deskriptiver ele- 

 mentargeometrischer Satz aus den Verknüpfungsaxiomen der Ebene 



folge oder nicht. 



In der elementaren Geometrie der Ebene hat man mit zweierlei 

 Objekten zu tun, Punkte und gerade Linien. Ich will die ersteren mit 

 grossen 1, die letzteren mit kleinen Buchstaben bezeichnen. Dass zwei 

 Punkte A und B zusammenfallen bezeichne ich dadurch, dass ich {AB) 

 oder [BA] schreibe. (Diese ,Koincidenz'-Paare sollen also ungeordnete sein). 

 Ebenso soll {ah) oder (ba) bedeuten, dass die Linien a und b zusammen- 

 fallen. Weiter soll {Aa) oder auch {aA) bedeuten, dass der Punkt A auf 

 der Linie a liegt. Dann gelten in der Ebene folgende Axiome: 



Ip. Für jedes A gilt {AA). 

 IIp. Aus {AB) mit {BÜ) folgt {AC). 



II. Für jedes a gilt aa. 

 Hl. Aus {ab) mit {bc) folgt {ac). 



IIIp. Aus {AB) mit {Ac) folgt {Bc). I Uli, Aus {ah) mit {Ca) ïo\gt {Cb). 



1 Der grosse Buchstabe S allerdings wird im folgenden zur Bezeichnung von Systernen 

 gebraucht. Das wird wohl kaum zu Missverständnissen Anlass geben. 



