1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 2 5 



IV. Aus den Paaren (Aa){Ba){Ab){Bb} folgt entweder (AB) oder (ah). 

 Vp. Für jedes A und jedes B gibt j Vi. Für jedes a und jedes b gibt 

 es ein c, sodass sowohl [Ac) , es ein C, sodass sowohl [aC) 



wie {Bc) stattfinden. I wie [bC] stattfinden. 



Hier kann folgender Satz bewiesen werden: 



Satz I. Es sei S ein System von Paaren, das in Bezwi auf die 

 Axiome I—IV, aber nicht in Bezug auf T'^, abgeschlossen ist. Weiter 

 seien P und Q zivei Symbole, die in den Paaren von S auftreten, aber 

 so, dass [PQ) nicht e S ist. M^ir bilden ein \ im fassender es System S' 

 durch Hinzufügung der folgenden Paare: 



i) (;t), h-o r ein neues, d. h. in den Paaren von S nicht auftretendes, 

 Symbol ist. 



2) (P'r), sooft [P'P] s S, und (Q'r), sooft {Q'Q) e S ist. 



3) (;•;•'), sooft [PP') [Q'Q] [P r') [Q'r') alle e S sind. 



4) (6V), wenn die Paare {Cr'){PF) {QQ')[P'r) [Q'r) alle in S auftreten. 



Dann ist S' icieder in Bezug auf I—IV abgeschlossen. 



Beweis: Dass die Axiome I für S' gelten, sieht man unmittelbar. 

 Dass II gilt ist auch ganz klar, da S' keine anderen Punktpaare enthält 

 als die schon in S vorkommenden. Dass IIj für S' gültig ist, lässt sich 

 wie folgt beweisen. — Sind [ab] und [bc] beide e S, so ist auch [ac] e S. 

 Ist [ab) e S, aber (bc) e S'— S {S'— S soll der Rest von S' bedeuten, der 

 übrig bleibt, wenn S entfernt wird), so muss [bc) von der Form {r'r) sein, 

 wo >•' ein solcher Symbol ist, dass (P'P) (Q'Q) (Fr) (Q'r) alle e S sind. 

 Dann ist (ab) von der Form (ar) und folglich kommen auch die Paare 

 (P'a) und (Q'a) in *S vor, da nämlich III^ für «S gilt. Dann ist aber nach 

 3) auch (ar) e S'. Wenn (ab) e S'— S und (bc) e S ist, geht es natür- 

 lich ganz ebenso; im Grunde ist das gar kein neuer Fall, da die Paare 

 ungeordnet sind. — Es bleibt also nur der Fall (ab) e S' — -S' und (bc) e 

 S'- S. Diesen beiden Paare sind dann von der Form (r'r), indem wir 

 augenscheinlich von dem Falle absehen können, da eines oder beide Paare 

 von der Form (rr) sind. Weiter können wir auch von dem Fall absehen, 

 da II nicht das Symbol ;• ist, sodass a und c beide das Symbol ;• würden ; 

 denn (rr) gehört ja zu S' kraft i). Die beiden Paare sind dann (r^r), wobei 

 (PPi) (QQi) (Pi;-i) ((A'i) in '^^' vorkommen, und (rr^), wobei (PP^) (QQ2) 

 (P.,r.2) (Q>ro) zu <S' gehören. Dann müssen aber PiPg) ""^ {Q1Q2) zu S ge- 

 hören und also auch (Pi?^) (^^''2) (A''i) und (QoVi). Aus (Pir^), (Q^r^), 

 (^'■2), {Qi>'-2) « S folgt kraft IV, dass entweder (PiQi) £ S oder (r^ro) e S. 

 (PiQi) kann aber nicht zu S gehören; denn dann würde auch (PQ) e S sein, 

 was gegen die oben gemachte Voraussetzung streitet. Es ist also (ri/'o) e S. 

 Hierdurch ist bewiesen, dass S' auch in Bezug auf 11^ abgeschlossen ist. 



