20 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Ist {AB) e s und auch (.4c) e S, so folgt {ßc) £ S. Ist (AB) s 8, 

 aber {Ac) e S' — S, so ist {Ac) entweder der Form {Fr) wobei {P'P) e 8,, 

 oder der Form {Q'r), wobei {(/Q) s S, oder der Form {Ar}, wobei (.4;-') 

 £ S und (;•';•) e 8' ist. In den zwei ersteren Fällen wird {AB) das Paar 

 {BP'} bez. {B(/). Aus {BP') e 8 bez. {BQ') e 8 in Verbindung mit {P'P) 

 e 8 bez. {(/Q) e 8 folgt {BP) e 8 bez. {BQ) e 8. Hieraus folgt wieder, 

 dass {Br) zu 8' gehört. In dem letzten Falle muss {Br'} e 8 sein, und da 

 {r'r) £ 8' ist, so folgt nach 3) und 4) {Br) t 8'. Es ist also 8' in Bezug 

 auf IIIp abgeschlossen. 



Ist (aJ)) £ 8, so ist {Ca) £ 8, falls {Ca) g 8', und dann kommt {Cb) 

 schon in 8 vor. Ist {ab) £ 8'— 8, so ist {ab) entweder der Form {rr) 

 — dann wird aber {Cb) dasselbe Paar wie {Ca) und gehört also sicher zu S' — 

 oder der Form (r'r), wobei es ein P' und ein Q' gibt, sodass die Paare 

 {P'P) {Q'Q) {P'r) {Q'r') alle £ 8 sind. Ausserdem ist dann {Ca) entweder 

 der Form {Cr'), in welchen Falle {Cb), d. h. (Cr), kraft (4) zu 8' gehört, 

 oder der Form {Cr), wobei ein r", ein P" und ein Q" vorkommen, sodass 

 {Cr") £ 8 und auch {PP") {QQ") {P"r''} {Q"r") alle £ 8 sind. Daraus folgt, 

 dass (P'P") und {Q'Q") beide £ 8 sind, woraus wieder [P'r') {Q'r) {P'r") 

 {Q'r") alle £ 8, woraus kraft IV folgt, dass (r'r'O £ 8 ist. Sonst müsste 

 nämlich {P'Q') £ 8 sein, was bewirken würde, dass {PQ) £ 8 wäre. Aus 

 {r'r") £ 8 und {Cr") £ 8 folgt aber {Cr') £ S. Es ist also 8' in Bezug 

 auf Uli abgeschlossen. 



Sind a und b Liniensymbole, die in den Paaren von 8 auftreten, so 

 gehören die Paare {Aa) {Ba) {Ab) {Bb) alle zu -S", und folglich kommt nach 

 IV entweder {AB) oder {ab) in 8 vor. — Sind a und b beide das Symbol 

 r, so kommt {ab), nämlich (rr), kraft i) in ^S'' vor. — Es bleibt der Fall zu 

 betrachten, da z. B. b r ist, während a eines der in den Paaren von 8 

 auftretenden Liniensymbole ist. Dann sind {Aa) und {Ba) beide £ aS wäh- 

 rend {Ab) und {Bb) £ 8' — 8 sind. Wir können zuerst den Fall betrachten, 

 da entweder {AP) oder {AQ) und zugleich entweder {BP) oder {BQ} in 

 8 auftreten. Haben wir sowohl (.4P) £ 8 wie {BP} £ 8, so folgt (.4P) £ 8. 

 Ebenso wenn auf einmal (.4(^) und {BQ) £ 8 sind. Ist (.4P) £ 8 und {BQ) 

 £ 8, so folgt aus der Tatsache, dass {Aa) und {Ba) £ 8 sind, dass {Pa) 

 und {Qa) £ S sind, woraus {ar) £ 8'. Ebenso wenn {AQ) und {BP) £ 8. — 

 Dann betrachten wir den Fall, da für ein r' und ein r" die Paare (.4r') 

 und {Br") £S und {rr) und {)-r") £ 8' sind. Wie schon oben nachgewiesen 

 (bei dem Beweis für IL) kommt dann {r'r") in *S' vor, sodass auch {Br') £ 8. 

 Da nun alle vier Paare (.4c/) {Ba) {Ar') {Br') in iS vorkommen, so folgt ent- 

 weder (.4P) £ 8 oder [ar') £ 8. Kommt {ar') in 8 vor, so folgt, da {r'r) 

 £ 8', kraft eines früheren Resonnements, dass auch {ar) £ 8" ist. — Endlich 



