1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 2'] 



müssen wir den Fall untersuchen, da ein Paar [Ar) t S und {y'r) s S' 

 ist, während entweder (BP) oder (BQ) — wir kéinnen {BP) wählen — /,u 

 S gehört. Da {r'r) e S', so gibt es ein P' und ein (/, sodass {PP){(/(^) 

 iP'r') ((/>■') alle t -S" sind. Dann ist auch {BP'i e S und also (Br') e S. 

 Aber aus dem X'orkommen von (An) {Ba) {Ar'} (Br'\ in ^S' folgt entweder 

 (AB) i S oder (a)') i S, und im letzteren pralle kommt, wie wir gesehen 

 haben, auch (nr) in iS" vor, da (;';) e S'. Genau ebenso wird es gehen, 

 wenn entweder (AP) oder (--1(^) e S ist, während ein Paar (Br') in .S' 

 auftritt in X'erbindung mit (r'r) e S'. — Also ist S' auch in Bezug auf 

 IV abgeschlossen. 



Weiter haben wir den folgenden Satz: 



Satz 2. Geklärt (PQ) zu S, und id S' das System, das aus S ent- 

 sielit durch Hiuziifüyung des Paares [rr) und aller Paare (Rr), icohei 

 (KP) e S ist, so ist S^ in Bezug auf I — 1\' abgeschlossen, sofern S in 

 der Weise abgeschlossen ist. 



Beweis: Dass I und IIp für S' gelten sieht man unmittelbar. Dass 

 III gilt sieht man auch sofort dadurch, dass das einzige neue Linienpaar 

 {;•;•) ist, und wenn entweder (ab) oder (bc) das Paar (;;) ist, so ist (ac) 

 entweder dasselbe Paar wie (ab) oder wie (bc) und gehört also zu S'. 

 Dass IIIj, gilt sieht man so: Entweder ist (AB) s S und (Ac) auch e S; 

 dann gehört (Bc) zu S. Oder es ist (AB) s >S, während (Ac) der Form 

 (.4;-) ist, wobei (.4P) e S. Aus (AB) und (AP) e S folgt (BP) e S, woraus 

 wieder (Br) e S'. Dass Uli gültig ist, sieht man so: Sind (ab) und (Ca) 

 nicht beide schon e S, sodass also (Cb) auch sicher schon zu S gehören 

 würde, so sind sie beide e S' — 6'. Sie sind dann von den Formen (rr) 

 und (Cr). Dann ist aber (Cb) dasselbe Paar wie (Ca) und gehört also zu S'. 

 Die Gültigkeit von IV kann wie folgt bewiesen werden: Sind (Aa) und 

 (Ba) £ S, während (.4/;) und (Bb) e S' — S sind (ist (Ab) e S, so ist auch 

 (Bb) e S und umgekehrt), so sind die beiden letzteren Paaren der Formen 

 (.4;) und (/>V), wobei (.47^) und (BP) beide € S sind. Daraus folgt (.4P) 

 £ S. Ebenso wenn (Ab) und (Bb) e S, während (Aa) und folglich (Ba) 

 £ S'-S sind. Sind endlich alle vier Paare (Aa) (Ba) (Ab) (Bb) £ S'-S, 

 so sind sie von den Formen (.4?) und (Br), wobei (-4P) und (BP) £ S, 

 woraus (.4Pj e S. 



Da das neue System S' in beiden Sätzen keine anderen Paare, aus 

 den in den Paaren von S auftretenden Symbolen gebildet, enthalten als 

 die schon in S vorkommenden, so gilt auch folgender Satz: 



Satz 3. Hat man ein System S von Paareii, das in Bezug auf die 

 Axiome I — IV, aber nicJit V, abyescJilossen ist, und wird V ein oder 

 melirere mal angewandt, so bekommt man durch Hinzufügung aller Paare, 



