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die dann nadiher mit Hülfe von I — IV abgeleitet iverden können, ein 

 umfassenderes System S', das icieder in Bezug auf I — IV abgeschlossen 

 ist und nicht andere Paare enthalten^ die aus den schon in den Paaren 

 von S auftretenden ursprünglichen Symbolen gebildet sind, als eben die 

 in S vorkommenden Paare. 



Wünscht man nun zu entscheiden, ob ein Paar aus gewissen gege- 

 benen Paaren mit Hülfe der Axiome I — V abgeleitet werden kann, so 

 kann man V ausser Betracht lassen; man braucht nur zu untersuchen, ob 

 das betreffende Paar mit Hülfe der Axiome I — IV allein ableitbar ist. 

 Dies lässt sich aber immer entscheiden, weil mit Hülfe dieser Axiome nur 

 eine endliche Zahl von Paaren gebildet werden kann, wenn eine endliche 

 Zahl von solchen gegeben ist. Die Sache ist aber hier insofern mehr 

 verwickelt als in § 2, als der Ableitungsprozess hier nicht eindeutig ver- 

 läuft, weil Axiom IV eine Alternative ausdrückt. Man muss deshalb den 

 Prozess auf alle mögliche Weisen ausführen, indem man bei jeder Anwen- 

 dung von IV zwischen zwei Alternativen zu wählen hat. Man wird des- 

 halb aus einem beliebig gegebenen System S von Paaren durch Anwen- 

 dung der Axiome I — IV auf mehrere Weisen ein in Bezug auf diese 

 Axiome geschlossenes System erhalten; es seien S^, S^, . . . diese Systeme. 

 Soll nun ein Paar {ab) aus den Paaren in S notwendig folgen, so muss 

 {ab) in jedem der Systeme S^, S2, . . . auftreten. Soll man untersuchen, 

 ob mindestens eines der Paare {ab), {cd), usw. von den Paaren eines Sy- 

 stems S folgt, so hat man nachzusehen, ob in jedem der Systeme 6\, 82,-.. 

 mindestens eines der Paare {ab), {cd) usw. auftritt. Es braucht aber nicht 

 dasselbe dieser letzteren Paare in allen Systemen Si, &, . . . vorzukommen. 

 Die Disjunktion ^^ab) + {cd) -\- . . . 



wird aus der Konjunktion aller Paare von S folgen, wenn nur innerhalb 

 Si eines der Paare {ah), {cd), . . . vorkommt, weiter innerhalb S2 eines dieser 

 Paare vorkommt, aber nicht notwendig dasselbe wie in S^, usw. 



Ebenso wie in § 2 können wir deshalb auch hier über die Beweis- 

 barkeit jeder Aussage entscheiden, die aus Elementaraussagen, d. h. Paaren 

 [AB), {ab), {Aa), mit Hülfe endlich vieler Anwendungen der Konjunktion, 

 Disjunktion, Negation und Produktation gebildet ist, während Summa- 

 tionen nicht vorkommen. Jede solche Aussage lässt sich ja auf die Form 



(i) n ... n ü {x^, ... ,Xn) 



bringen, wo U von Elementaraussagen durch endlich viele Anwendungen 

 der Konjunktion, Disjunktion und Negation allein gebildet ist. Wir können 

 dann U als ein endliches Aussagenprodukt (Konjunktion) schreiben: 

 U {Xi, . . . , Xn) = El E2 . . . E^, w^obei jede Faktoraussage Æ'r durch end- 



