1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 29 



lieh viele Anwendungen von Disjunktion und Negation allein gebildet ist. 

 Die Frage, ob (i) beweisbar ist oder nicht, ist dann damit gleichbedeu- 

 tend, ob für jedes ;• die Aussage 



(2) n ... II Er {.Ti, . . . ,Xn) 



beweisbar ist oder nicht. Hier kann man aber A'r wieder als eine end- 

 liche Aussagensumme (Disjunktion, Alternative) von teils negierten teils 

 unnegierten Elementaraussagen schreiben. Das heisst aber wieder 

 (Vergl. S. 23), dass Er aussagt, dass aus der Existenz gewisser Paare 

 III, II,, . .. , Up die Existenz von mindestens einem der Paare /Jpo-i, . .., //p + q 

 folgen soll. Das Uisst sich aber in der schon angegebenen Weise immer 

 entscheiden. 



Ich gebe hier nur ein einziges Beispiel, da es nicht leicht ist einfache 

 und zugleich nicht ganz triviale Beispiele zu finden. 



Beispiel: Es sei zu untersuchen, ob der Desarguesche Satz von den 

 homologen Dreiecken aus den aufgestellten Verknüpfungsaxiomen folge 

 oder nicht. Dieser Satz ist ja ein deskriptiver. Er sagt in der kom- 

 binatorischen Sprache folgendes: Wenn die Paare 



(3) (AA) [AiC,] {Dia,]{B,c,) {C,a,) {CA) (^^sôa) {Ä2C,) {B.a^) {B,c,) {C^a.) {C^b^) 



{A,d) {.U) {Pd) {B,e) (B,e) {Fe) {C,f) {C\f) {Pf) {Da,) [Da,) {Dp) 

 {Eb,){Eb,){Ep){Fc,){Fc,) 



vorkommen, dann soll auch mindestens eines der Paare 



(4) {Fp){aia2) {bA) [cic.y) 



vorhanden sein. Dass aber dieser Satz aus den aufgestellten Ver- 

 knüpfungsaxiomen I — V nicht folgt, lässt sich leicht nach dem oben an- 

 gegebenen Verfahren zeigen. Denn wir brauchen also das Axiom V nicht 

 zu berücksichtigen, sondern wenden nur die Axiome I — IV so lange an, in- 

 dem wir von dem System (3) ausgehen, dass ein in Bezug auf I — IV ab- 

 geschlossenes System entsteht. Kraft I können alle Selbstpaare {AiAi){BiBi) 

 usw. gebildet werden. Werden diese zu den Paaren (3) hinzugefügt, haben 

 wir aber schon ein in Bezug auf I — IV abgeschlossenes S\stem. Denn 

 da keine anderen reinen Linien- oder Punktpaare als diese Selbstpaare auf- 

 treten, so sind die Axiome II und III erfüllt, und IV ist auch, wie man 

 leicht konstatiert von selbst erfüllt. Da keines der Paare (4) unter den 

 erhaltenen Paaren vorkommt, so lässt sich der Desarguesche Satz nicht 

 auf Grund der Axiome I — V beweisen ^ 



' Im Räume dagegen ist der Satz bekanntlich eine Folge der Verknüpfungsaxiome. 



