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Ein Satz über dichte Mengen, i 



Es ist ein bekannter Satz der Mengenlehre, dass die Elemente zweier 

 offener 2 und dichter abzählbarer Mengen eineindeutig und unter Beibehalt 

 der Anordnung zugeordnet werden können. Man sagt, dass die zwei 

 Mengen einander ähnlich sind. Ich will im folgenden einige Sätze be- 

 weisen, die noch etwas mehr aussagen; es soll nämlich bewiesen werden, 

 dass zwei solche Mengen, die in gewisser Weise eingeteilt sind, unter 

 Beibehalt nicht nur der Anordnung sondern auch der Einteilung einein- 

 deutig zugeordnet werden können. Der Beweis geschieht genau nach 

 demselben Prinzip wie der Beweis für den einfacheren Satz über die 

 Gleichheit der Anordnung. Soweit mir bekannt, ist die Möglichkeit solcher 

 Abbildungen unter Beibehalt sowohl der Anordnung wie der Einteilungen 

 früher nicht bemerkt worden. 



Satz I. Es sei C eine ahzäJilhare linear geordnete, dichte und offene 

 Menge, ivelche die Summe ziveier element fremden Mengen A und B ist, 

 wobei soiüoJd A ivie B in C dicht und mit C koextensiv ^ sind. Ebenso 

 sei C eine offene und dichte ah^ahlbare Menge, ivelche die Summe zweier 

 Mengen A' und B' ist, ivobei sowohl A' une B' in C dicht und mit C 

 koextensiv sind. Dann kann C auf C in der Weise eineindeutig abge- 

 bildet werden, dass dadurch A auf A' und B auf B' abgebildet tvird, 

 ivährend auch immer ein früheres Element auf ein früheres abgebildet wird. 



Beweis: Es seien üi, a^, . . . die Elemente von A, bi, b2. . . . eile Ele- 

 mente von B, a\, a/^, . . . die Elemente von A' und b\, 6^, . . . die Elemente 

 von B\ Im Laufe des Beweises werden successive neue Namen für alle 

 diese Dinge eingeführt, indem die Elemente von A, B, A' und J5' bez. 

 «1 «2i • • • > ßi ß2 ' • • ■> f'i> «'ii • • • und ß[, ß'.,, . . . genannt werden. Ich de- 

 finiere dann rekurrierend wie folgt eine Abbildung c?) von C=A-{-B aut 

 0=A'-\-B'. Zuerst soll a\=a\ das Bild von «^ = ^i sein. Dann soll 

 ßi = bi auf dasjenige Element von B' abgebildet werden, das unter allen 

 Elementen von B\ welche dieselbe Rangordnung in Bezug auf a\ wie b^ 

 in Bezug auf a^ haben, den kleinsten Index hat, also in der Reihe b\, b'^, . . . 

 zuerst auftritt. Wegen der Offenheit von O und weil B' mit C koex- 

 tensiv ist, gibt es solche Elemente von B' und deshalb auch unter ihnen 

 eines mit dem kleinsten Index. Ich nenne dieses Element ß\. Weiter soll 



1 Der Inhalt dieses Paragraphen ist von dem der vorhergehenden Paragraphen völlig 

 unabhängig. 



2 Siehe F. Hausdorft'; Grundzüge der Mengenlehre, p. 83. 



3 Siehe F. Hausdorfl": Theorie der geordneten Mengen, Mat. Ann. B. 65, p. 440. 



