1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 3 1 



a'^ = a[ das Bild desjenigen Elementes von .1 sein, das mit dem kleinsten 

 Index dieselbe Rangordnung in Bezug auf ''i = ai und l'^=ßy hat, wie«', 

 in Bezug auf a\ und ß^. Da .4 in C dicht und mit C koextensiv ist. lässt 

 sich ein solches Element von .4 finden. Es soll a.» heissen. Weiter soll 

 ß'^ das erste Element in der Reihe //,, //,, . . . sein, das von ß\ verschieden 

 ist. Dieses ß'„ soll das Bild tlesjenigcn Elementes der Reihe hy, h.^, . . . sein, 

 das mit dem kleinsten Index dieselbe Rangordnung in Bezug auf fq, a.> 

 und ßi hat, wie ß[ in Bezug auf a\, a, und ß\. Dieses Element von B 

 soll ,^2 heissen. 



In dieser Weise wird ins Unendliche fortgesetzt, indem man abwech- 

 selnd ein Element jeder der beiden Mengen .1 und IJ auf ein Element 

 von A' und ein Element von Jl' und wieder ein Element jeder der Men- 

 gen A' und 7i' auf ein Element von A und ein Element von B abbildet, 

 wobei man bei jeder Gelegenkeit unter allen noch disponiblen Dingen 

 dasjenige mit dem kleinsten Index wählt und bei jeder Wahl eines Bildes 

 dafür sorgt, dass das Bild dieselbe Rangordnung zu den schon gewählten 

 Bildern hat, wie das abzubildende Bild zu den früher abgebildeten. Die 

 letzte Forderung ist immer Erfüllbar kraft der Dichtigkeit und Offenheit 

 der Mengen, und weil sie koextensiv sind. 



Das allgemeine Prinzip des Abbildungsprozesses wird also genau 

 ausgedrückt wie folgt. Es seien schon die Elemente ai, «2» ••.,«& von 

 ,4 und ßi, ßo, . . . , ßa von B auf die Elemente cq', c<o', . . . , On' von A' 

 bez. ßi\ ßo , . . . , ßa von B' in der Weise abgebildet, dass dabei die 

 Rangordnungen nicht gestört werden. So oft n eine (jcrade Zahl ist, lässt 

 man dann r^n + i dasjenige unter den von cq, «2, ..., «n verschiedenen der 

 Elemente «i, a.,, . . . von .4 sein, das den kleinsten Index hat. Weiter 

 soll a'n + i, das Bild von «n + i. da.sjenige unter den in .4' vorkommenden 

 Dingen Hi a./, . . . sein, das dieselbe Rangordnung in Bezug auf rq'««'- • • » «i/> 

 ßi', ,'^-1, • • • ' ßn hat, wie Un + \ in Bezug auf «1 a.^ . . . , (t^, ß^, ßo, . ■ ■ , ßa, und 

 ausserdem den kleinsten möglichen Index hat. So bestimmt man weiter, 

 dass ßn-i da.sjenige unter den von ßi, ß^, ■ • • , ßu. verschiedenen Dingen 

 der Reihe /;i, ho, . . . sein soll, das in dieser Reihe den kleinsten Index 

 hat. während das zu /?n + i gehörende Bild ß'n-u^ als das Element der 

 Reihe /^1', h./, . . . gewählt wird, das mit dem kleinsten Index dieselbe 

 Rangordnung in Bezug auf rcj', . • • , «n', «'n + 1, ßi', • - ■ , ßn hat wie ß^ + 1 in 

 Bezug auf cq . . . , rca, a^ + i, ßi, • ■ ■ , ßn- So oft dagegen n eine ungerade 

 Zahl ist, lässt man rc'^ + i dasjenige der Elemente ai', «2') • • • "^^^ ^^' sein, 

 das mit dem kleinsten überhaupt möglichen Index von a\ . . . , a'n ver- 

 schieden ist, und bestimmt das zugeordnete Ding ccn + i als das in der 

 Reihe a^, rio, . . . zuerst auftretende, das dieselbe Rangordnung in Ver- 



