32 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



hältnis zu «1, ... , «n, ßi, . . . , ßa hat, wie a'n + i in Verhältnis zu «i', . . . oa, 

 ßi, . . ., ßn- Weiter lässt mann ^'n + 1 dasjenige Element der Reihe bi, ho^, . . . 

 sein, das mit dem kleinsten Index von ßi . . . , ß^' verschieden ist, und be- 

 stimmt das zugeordnete Ding ßn + \ als das Element mit dem kleinsten 

 Index der Reihe h^, bo, . ■ . , das dieselbe Rangordnung in Bezug aui 

 au ... , an, «n + i, ßi, ■ • ■ , ßn hat wie ß'n + i in Verhältnis zu cq', . . . , «/, 



û'n + l, ßi, • • • , ßn'- 



Wenn dieser Prozess, der augenscheinlich ganz eindeutig verläuft, ins 

 Unendliche getrieben wird, entsteht eine eindeutig bestimmte eineindeutige 

 Zuordnung zwischen den Mengen ('^=A-\-B und C = A' -\- B' , sodass 

 dabei die Elemente von A den Elementen von A und die Elemente 

 von B' den Elementen von B zugeordnet werden, während auch immer 

 ein früheres Element einem früheren zugeordnet wird. 



Hierdurch ist der Satz i bewiesen. 



Es ist klar, dass dieser Satz sofort in folgender Weise verallgemeinert 

 werden kann: 



Satz 2. Es sei A eine abzahlbare linear geordnete, dichte und offene 

 Menge, icelche die Summe der i^aariueise elemente)} fremden Mengen A^, 

 A2, • . ., An ist, die alle in A diclit und mit A koextensiv sind. Ebenso 

 sei B eine abzählbare linear geordnete, dichte und offene Menge, ivelche 

 die Summe der x>aariüeise element en fremden Mengen B^ B.2, . . ., B^ ist, 

 die alle in B dicht und mit B koextensiv sind. Es gibt dann eine ein- 

 eindeutige Abbildung (P von A auf B, sodass dabei für jedes r Ar auf 

 Bt abgebildet îcird, wäJirend ausserdem die Anordnungsverhältnisse bei 

 der Abbildung nicht gestört iverden. 



Der Beweis lässt sich in der Tat in einer ganz ähnlichen Weise wie 

 der Beweis für Satz i führen. Man braucht bloss abwechselnd ein Ele- 

 ment jeder der Mengen ^4^, Ao, • ., A^ auf ein Element jeder der Mengen 

 Bi, B2, . ., Bn und wieder ein Element jeder der Mengen Z?i, B2, . ., -ßn 

 auf ein Element jeder der Mengen ^4^, A2, . . , A^. abzubilden, wobei 

 man immer unter den noch disponiblen Elementen dasjenige mit dem 

 kleinsten Index (bei der angenommenen Numerierung (Abzahlung) der 

 Elemente der Mengen Ai, A2, . ., A^, B^, Bo, . ., B^) wählt und bei jeder 

 Wahl eines Bildes dafür sorgt, dass das Bild dieselbe Rangordnung hat 

 zu den schon gewählten Bildern wie das abzubildende Ding zu den früher 

 abgebildeten. Die letzte Forderung ist immer erfüllbar kraft der Offenheit 

 und Dichtigkeit der Mengen, und weil sie koextensiv sind. 



Man kann aber noch einen Schritt weiter gehen. Auch folgender Satz gilt: 



Satz 3. Es sei A eine abzahlbare linear geordnete offene und dichte 

 Menge, icelche die Summe der abzäJdbar unendlich vielen paariveise 



