ig20. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 33 



elcjnentevfremden Mengen A^, A.i, ^3, ist, die alle in A dicht und 



mit A koextensiv sind. Ebenso sei B eine ahziüdbare linear geordnete 

 offene luid dichte Menge, iceldte die Summe der abzahlbar unendlich 

 vielen paarweise element enfremd en Mengen B^, Bo, .... ist, die alle in 

 B dicht und mit B koextensiv siiid. Dann gibt es eine eineindeutige 

 Abbildung von A auf B, sodass dabei für jeden Index r At auf B^ ab- 

 gebildet wird, während ausserdem die Abbildung anordnungsireu ist. 



Beweis: Es seien a^.n {fi=^, 2, . . .) die Elemente von A„, und 

 f,^^ (>2= I. 2, ...) die Elemente von Bai- Es ist dann möglich in fol- 

 gender Weise eine Abbildung der verlangten Art zu definieren. 



Erstens soll aj = a] , auf 6J-^ 61,1 abgebildet werden. — Dann soll b^^^bi,2 

 das Bild desjenigen Elementes der Reihe a, „ {n= i, 2, . . .) sein, das mit 

 einem so kleinen Werte von )i als überhaupt möglich dieselbe Rang- 

 ordnung in Bezug auf a\ hat wie b\ in Bezug auf b\; es sei a] dieses 

 Element. Weiter soll bl — bo.x das Bild desjenigen Elementes der Reihe 

 a.,^^ ()):=t^2, . . .) sein, das mit dem kleinsten möglichen Werte von n 

 dieselbe Stellung in \'erhältnis zu a\ und a] hat wie bl in Verhältnis 

 zu b\ und A;, Dieses Element soll al heissen. — Dann soll a'l das 

 Element der Reihe a^^^ (»—1,2,. . .) sein, das mit dem kleinsten Index 

 n von a\ und a\ verschieden ist, und man bildet es ab auf das Element 

 bl der Reihe b^^n (^? = i,2, ...), das mit dem kleinsten Werte von n in 

 derselben Rangordnung in Bezug auf b\, b] und //' steht wie a] in Bezug 

 auf a\, a1 und al. Weiter soll al das Element der Reihe a.,_n ('i= ^,~, • •)' 

 sein, das mit einem so kleinen Werte von n als möglich von a]^ ver- 

 schieden ist, und al wirä auf dasjenige Element bl der Reihe /a2,„ (« = 1,2,. .) 

 abgebildet, das mit dem kleinsten Werte von )i dieselbe Rangordnung 

 in Bezug auf b\, b^^, b'l, />J hat wie a; in Bezug auf a\, a], a^, a'^. Dann 

 soll (-/3 = r/3,1 auf ^^ = />3,i abgebildet werden. — Das nächste Mal sollen 

 b\, bl, bl und bl die Bilder von a^, al, al, a\ sein, wobei b\ als das- 

 jenige unter den von b\, b* und /;^ verschiedenen Elementen der Reihe 

 ^i,n {n= \,2, ..) gewählt wird, das den kleinsten Wert von n hat, bl als 

 dasjenige unter den von />' und bl verschiedenen Elementen der Reihe 

 ^2,n ('ï=i,2, . .), für welches n den kleinsten möglichen Wert hat, i' als 

 das Element der Reihe b^^n (»=1,2, . .), das mit dem kleinsten Wert 

 von n der Forderung Genüge leistet von, 63 verschieden zu sein, und 

 endlich b\ = /^4 1 gewählt werden. Weiter wird a\ als das Element der Reihe 

 fli.n (/'= I, 2, . .) gewählt, das mit dem kleinsten n dieselbe Stellung in 

 Bezug auf a\, a\, a\, a^, a\, al hat wie }i\ in bezug auf }>\, b], b\, b\, 

 b\ und b\; a\ wird als das Element der Reihe cr2.n ('* = 1,2,...) gewählt, 

 das mit dem kleinsten n dieselbe Stellung in Bezug auf a\, a\, a\, a\, 



Vid.-Selsk. Skrifter. I. M. N. Kl. 1920. No. 4. 3 



