34 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Cl!,, al, (il hat wie hl \n Bezug auf !>[, b], h\, //|, h\, b; und /^3, nl als das 

 Paiement der Reihe fi-mi'i = i, 2, .. .), das mit dem kleinsten Werte von 

 n dieselbe Stellung in Bezug auf n\, ai, a^, n'i, al, al, al, al einnimmt 

 wie bl in Bezug auf b\,b-^, b'-l,b\, hl, b;, bl,bl, und endlich wird a| als 

 das Element der Reihe f/4,n ('^ =^ i, 2, . . .) gewählt, das mit dem klein- 

 sten möglichen n dieselbe Rangordung in Bezug auf Çi\, cii (i^, a'l, a]^, al, 

 al, al, a; hat wie h[ in Bezug a-un)[,hl,hl,bl,hl,bl,bl, hl, b"^. 



Das allgemeine Rekursionsprinzip des Abbildungsprozesses, das 

 übrigens wohl schon nach dem obigen verständlich ist, kann genau in 

 folgender Weise formuliert werden : 



Es seien schon 



a[, a\, .. ., ci'l, a[, al, ..., cq-\ aA_i, f'n-i, ak 



auf den Dingen 



h[, h\,..., h^, b\, bl,..., b^,-\ , 6A_i, bl-,, hi, 



eineindeutig und anordnungstreu abgebildet. So oft dann 71 eine gerade Zahl 

 ist, soll a^i + ^ dasjenige unter den von a J, r/^,.. ., r/^ verschiedenen Elementen 

 der Reihe a^.. {y= i, 2, . . .) sein, für welches y den kleinsten Wert hat, 

 a^ soll dasjenige unter den von al, a;, . . . , a^"'^ verschiedenen Elementen 

 der Reihe o., ., sein, für welches y den kleinsten Wert hat, usw. und also 

 zuletzt fli'n-i = <:^n + i.i. Das Bild i\' + ^ von a^ + ^ soll dasjenige Element 

 der Reihe b^^y sein, das mit einem so kleinen Werte von y als möglich 



dieselbe Stellung in Bezug auf h\ . , . />>^, f>l ■ . . , h^-\ , /^A-i, h'l-i, h^ 



einnimmt wie a^l + ^ in Bezug auf ci\, . . . fl\\ al, . . . f/^~\ . . . , aà_i, fln — 1, a^. 

 Dann soll das Bild b^^ von ci'^^ dasjenige Element der Reihe b.^.y sein, das 

 mit einem so kleinen Werte von y als möglich dieselbe Rangordnung in 

 Bezug auf alle schon gewählten Bilder b, d. h. b\, b\, . . . , b^, b^ + ^, bl . . . 

 b^-\ />3 . . . , 6^-2,. . . , bn-i, 6n- 1, f>n, hat, wie a^ in Bezug auf alle schon 

 abgebildeten a, d. h. o\, . . . , a^, a^^ \ al, . . . , a^^\ . . ., a,\_i, al-i, On. 

 Danach wird das Bild b^-^ von a^~''- als das Element der Reihe h^,, 

 gewählt, das mit dem kleinsten y dieselbe Rangordnung in Bezug auf 

 alle früher als Bilder schon gewählten h hat wie a^ ~' ^ in Bezug auf alle 

 schon abgebildeten a, usw. Zuletzt wird also das Bild h^ + i von aù + i 

 als das Element der Reihe 6„ + jj' gewählt, das mit dem kleinsten y dieselbe 



Stellung in Verhältnis zu b\, b;, . . . , b'^ + \ bl, b;, . . . , b"}^, , bk-u 



Mi—i, K-i, ^A, al hat wie al+i in Verhältnis zu a[ . . . a'^ + \ al . . . a^, . . . 

 al, al. Nachdem so viel gemacht ist, sind die Dinge 



a\,... , a^i+^ al,...a'^_ , al, al, al+i 



eineindeutig und anordnungstreu auf den Dingen 



AI 7,n+l AI An h^ b' h^^i 



abgebildet. 



