1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 35 



So oft 71 eine ungerade Zahl ist, geht man in derselben Weise vor, 

 indem nur die a und die h ihre Rollen vertauschen. 



Man überzeugt sich sehr leicht davon, dass nach und nach alle Ele- 

 mente von .i bei diesem ins Unendliche getriebenen Prozess abgebildet wer- 

 den, während auch andererseits alle Elemente von D nach und nach als 

 Bilder auftreten werden. Man bekommt also eine eineindeutige und an- 

 ordnungstreue Abbildung von A auf 7/, so dass dabei für jedes r die Teil- 

 menge Ar von .4 auf den Teil Br von B abgebildet wird, w. z. bw. w. 



Man kann von diesen Sätzen interessante Anwendungen machen. 

 Ich gebe hier ein Paar einfache Beispiele. 



Beispiel i. Die Menge aller reellen algebraischen Zahlen besteht 

 aus den rationalen Zahlen und den irrationalen reellen algebraischen Zahlen, 

 und diese beiden Teilmengen sind in der Menge aller reellen algebraischen 

 Zahlen dicht und mit dieser koextensiv. Ausserdem gibt es keine kleinste 

 und keine grösste reelle algebraische Zahl. Die Menge aller algebraischen 

 reellen Zahlen, deren Grad höchstens gleich 2 ist, ist offen und dicht 

 und besteht aus den rationalen Zahlen und den reellen quadratisch-irra- 

 tionalen Zahlen. Die beiden letzten Teilmengen sind in der ganzen Menge 

 dicht und mit dieser koextensiv. Nach Satz i. muss es dann mciglich 

 sein die Menge aller reellen algebraischen Zahlen eineindeutig unter Bei- 

 behalt der Grössenverhältnisse auf die Menge aller reellen algebraischen 

 Zahlen, deren Grad 2 nicht überschreitet, so abzubilden, dass dabei die 

 Menge der rationalen Zahlen auf sich selbst abgebildet wird. Man kann 

 dies auch so ausdrücken: Es gibt eine eindeutige reelle Eunktion f [x] der 

 reellen Veränderlichen x, die folgende Eigenschaften hat: 



1. Sie ist monoton wachsend, 



2, Sie ist stetig. 



3, Für jedes rationale x ist f {x) rational und umgekehrt, 



4. Für jeden irrationalen algebraischen Wert von x ist der Wert von 

 f (x) eine quadratisch irrationale Zahl und umgekehrt, wenn f (.r) 

 quadratisch irrational ist, hat x einen irrationalen algebraischen Wert. 



Man kann ja jede anordnungstreue eindeutige Zuordnung zwischen 

 zwei überall dichten Mengen zu einer stetigen monoton wachsenden P\mk- 

 tion eines reellen Arguments erweitern, also einer stetigen Abbildung des 

 ganzen Continuums in sich selbst, 



Beispiel 2. Es seien in dem Intervall O^x^l zwei unendliche 

 Reihen von abzählbaren Mengen Ai, A^, . . . , ^1, ^2» • • • gegeben, wobei 

 jedes Ar wie auch jedes Br im ganzen Intervall überall dicht ist. Es gibt 

 ■dann nach Satz 3 eine eindeutige monoton wachsende stetige Funktion 



