1920. No. 6. EN GENERALISATION AV KJEDEBRØKEN. 



Men da maa vi kuiine vælge // -|- ;// saa stor, at ditferensen mellem 

 /I og II' blir hvfir liten vi vil, og da likesaa differensen mellem li og // 

 og mellem c og r'. Men da er det klart, at hvis 



a^h^ c 

 saa maa ogsaa 



a' ^ // ^ c' 



hvorav folger, at næste bogstav i algoritmen maa bli det samme for tal- 

 parret k, Il som for talparret /.•', //', hvilket strider mot vor forutsætning. 



Vi har dermed bevist folgende sætning: 



Enhver hof/sf årrække bestemme)' ett of/ kun eft tiilpar k, li, som gir 

 iinletluing til dennf hogstiivrwkke. 



§5. 



Vi skal saa behandle sporsmaal nr. 2. 



Lad os forst se paa dets geometriske betydning, idet vi studerer 

 samtlige rummets gitterpunkters projektion paa XV planet, naar hvert 

 punkt projiceres parallelt med den givne linje g kx, z -= Ji.r. 



Lad os forst anta at saavel Ji som A: er rationale, det vil si at den 

 givne linje er helrational. Da vil, som man let indser, projektionen av 

 gitterpunkterne ned paa /T)' planet danne en dobbelt uendelighet av di- 

 stinkte punkter. Lad os dernæst anta, at den givne linje er halvrational, 

 det vil si, at man gjennem linjen kan lægge et rationalt plan, uten at 

 linjen selv indeholder andre gitterpunkter end origo. Isaafald vil projek- 

 tionen av rummets gitterpunkter ned paa Z)' planet ligge paa en række 

 indbyrdes parallele linjer, som hver isa^r er ta^t besat med punkter. Et øie 

 i det uendelig fjerne punkt av linjen // = kx, ?. = lix vil derfor se rum- 

 mets gitterpunter som ant^'det paa fig. 8. 



Det rationale plan vil jo sel\- bli projicert til en ret linje gjennem 

 origo. Opsøker vi nu i rummet de gitterpunkter, som ligger nærmest 

 ■ciette rationale plan, vil de alle ligge paa to planer, parallele med det 

 rationale plan. Lad dettes ligning være 



hvor P, Q og /1' betegner hele tal. De to nærmeste parallele planer som 

 kan indeholde gitterpunkter er da 



Px + V// + i^^ = ± ' 

 \ i indser da som paastaat, at projektionen av alle rummets gitterpunk- 

 ter i dette tilfælde fordeler, sig paa en række parallele linjer i ZT planet. 



