M 



VIGGO BRUN. 



M.-N. Kl. 



Fig. 8. 



Vi faar derved et kjendemerke paa den halvrationale linje. Linjen 

 y = kx, z ^= liJC er ikke halvrational, hvis vi til ethvert plan gjennem 

 linjen kan paavise et gitterpunkt, som har en avstand fra planet, som er 

 mindre end t, men større end o, og det uanset hvor liten e er valgt. 



Vore bestræbelser skal derfor gaa ut paa at vise, at hvis talparret 

 k, h definerer en bogstavrække med uendelig mange y, saa kan vi altid 

 paavise et gitterpunkt, som ligger uendelig tæt opunder et vilkaarligt 

 valgt plan gjennem linjen y = kx, z = h.r. 



Vi faar da bruk for følgende bemerkning : 



Naar algoritmen indeholder uendelig mange ;'. vil hvert av algorit- 

 mens punkter (.Y, F, Z) før eller senere erstattes av et nyt. Lad os se 

 paa et bestemt taltripel; 



a X, \\ Z, 



b X. i; Zo 



c A'g Tg Zg 



Vi paastaar at punktet A'i, ]^i, Z^ vil erstattes av et nyt. Dette er 

 indlysende, hvis a er den mellemste av de tre størrelser «, h og c. 

 Isaafald erstattes øieblikkelig A'j Yi Z^ av et nyt punkt. Lad dernæst 

 a være mindst. Den vil da gaa over til at bli mellemst, saasnart der 

 optrær et y i algoritmen, og X^ Y^ Z^ vil saa erstattes av et nyt. Lad 

 endelig a være størst. Den vil da ved subtraktion gaa over til at bli 



