1 6 VIGGO BRUN. M.-N. Kl. 



Vi indser umiddelbart folgende vigtige egenskap ved denne algoritme: 



J^ttrykket 



nA + 1>B + cC 



skifter ikke værdi naar vi guar fra et tcdtripel til det næste, idet 

 in — h\ A-^h (.1 + B; 4- (-C = aA + hB + cC = L -\- kK ^ UH 



Sætningen gjælder saaledes for vilkaarlig valgte Z, A', //. \'i vil 

 forutsætte, at ikke alle tre er Hk nul. 



(Vælger vi særlig L= \, Ä = o faar vi ligningen 



aXi 4- ^^'^2 + cA'3 = I 



Da alle størrelser her er positive kan vi slutte at 



naar vi forutsætter at <i ^b ^ c.) 



Lad os herefter forutsætte at størrelserne L. K og H er valgt slik at 



L^kK + hH=-o 

 Da er ogsaa altid 



aA-{-hB + r,C = o 



Som vi ser kan ikke A, B og C ha samme tegn. 

 Som specialtilfælde faar vi formelen 



hvor I som før betegner 1' — Â'A'. 



Da vi har forutsat, at bogstavrækken har uendelig mange y^ l^^n vi 

 som nævnt forutsætte at 



n >. b > c. 



Vi sk(d nu bevise, at den nye størrelse [A -j- B) inaa ha mindre tal- 

 værdi end en av de tre tilsvarende størrelser i det foregaaende taltripel. 



Det er indlysende, hvis A og B har motsat tegn. Vi skal derfor for- 

 utsætte, at .4 og B har samme tegn, heri indbefattet den mulighet. at en 

 av dem kan være o. 



Lad os forst forutsætte, at .4 og B begge er positive (eller o). Da 

 er C negativ, og vi faar: 



b i A + B) < a A J^bB= — cC 

 hvorav 



|.4 + ß|<i-^Cl<!C| 



Nøiagtig samme resultat opnaar vi, naar A og B begge er negative 

 (eller o). Dermed er vor sats bevist. 



