23 VIGGO BRUN. M.-N. Kl. 



La définition de <i, h et c est 



! 1 A- h 

 ff =- a: -f kj/ -{- hz =- X^ Yi Z^ etc. 



I ^% î'2 ^2 



Nous démontrons»cependant le théorème suivant (voir fig. 7): Si tous 

 les trois ^ du n-ième triple de notre algorithme sont plus petits que w, 

 les trois | du («-|-i)-ième triple y sont aussi. 



Au § 4 nous supposons donnée une série des lettres infinie. Cette 



Y Z 



série définit des grandeurs X, I", Z. Nous démontrons que lim — et lim — 



X X 



existent, et que ces valeurs définissent la série de lettres donnée. 



Nous avons alors démontré le théorème suivant: 



Il appartient à cJiaque série des lettres donnée une paire des nom- 

 bres k, h, et seulement une, définissant cette série des lettres. 



Nous étudions au § 5 le problème 2°, en ajoutant ici à notre algo- 

 rithme (voir pag. 15) les grandeurs: 



A = LA\ + KY^ + i/Zi 

 B = LX^ + KY^ -f HZ.^ 

 C=LX,^KY,-\-HZ^ 



où L, K, H sont des nombres réels. 

 Nous observons que 



a A 4- 65 + cC 



a la même valeur dans tous les triples puisque 



{a — h)A-\-h{A-\-B)-{-cC=aA-^hB + cC=L-^ kK + liH 



Choisissons spécialement 



L + Ä-Ä' + ;<//= o 



c'est-à-dire étudions un plan Lx -\- Ki/ -\- Hz = o contenant la droite 

 y - kx, z = hx. 



Nous démontrons que la grandeur nouvelle (A -\- B) a une valeur 

 numérique plus petite qu'une des trois grandeurs correspondantes du triple 

 précédent. Nous étudions la série des nombres positifs: 



M^' M/ ...M^ ... 



où i/n' désigne la valeur numérique maximale des trois termes A, B, C 

 dans le triple ><-ième. 

 Nous observons que 



