4 AXEL THUE. M.-N. KI. 
können wir ferner drei ganze Zahlen p, q und r finden, die erstens der 
Gleichung 
Ap + Bq + Cr=0 
Genüge leisten, und zweitens so klein sind, dass 
een zung 
während 
|r | F2/N+1] 
|A|=|0|2|B| 
wenn z. B. 
Sind nämlich s und & zwei beliebige ganze positive Zahlen, so finden 
sich (2s + 1)? (2{ + 1) verschiedene Ausdrücke Aa + Bb + Cc, wo 
als ls let 
Es gibt daher drei Zahlen p, q, r für welche * 
== =; N (2s + 2) 
07 Ap + Bq + C GE IP GE Di 
während 
Setzen wir hier 
so werden 
IpP|Z1+VN |g\=1+ VN 
07 4p + Bq + Cr<1 
Da Ap + Bg + Cr eine ganze Zahl ist, muss folglich 
Ap + Byg + Cr =0 
wo rT2[YN +1] 
Addiert man die Gleichungen 
Ar + Br +C =: 
Br? + Cx +kA = er 
Ca? + kAr + kB = ex? 
nachdem man sie beziehungsweise mit p, q und 7 multipliziert hat, er- 
halt man 
[pB +90 4 rkA] a+ [pC + gkA + rkB] =e[p +92 +72] =u 
wo der Koeffizient von x, wenn x irrational ist, nicht Null sein kann. 
