30 AXEL THUE. M.-N. Kl. 
Wir bekommen dann 
Bn D, Fer Bm +1 
ae q,, An 
Da dies infolge der Gleichung (25) unmöglich ist, wenn e20, ist 
somit unseres Fundamentaltheorem bewiesen. 
Wir bemerken, dass man durch (25) auch die Unmöglichkeit der 
Gleichung (44) nachweisen kann, selbst wenn es zwischen den zwei 
Grenzen nur eine einzige Zahl n lag. 
Wenn « eine beliebig gegebene positive Grösse bedeutet, so existiert 
nach unserem Theorem II eine so grosse positive Grösse 8, dass wenn 
eine der ganzen Zahlen p und q grösser als 8 wird, so muss immer der 
absolute Wert von 
ag” — bp" 
wo a b r ganze positive Zahlen sind, und 7 > 2, grösser als « sein. 
Durch die obenstehenden Betrachtungen kénnen wir selbstverstandlich 
obere Grenzen für die Zahlen g, und q, finden, wenn sie die Gleichung 
(35) erfiillen sollen. 
Mehr allgemein können wir sagen, dass die Gleichung (45) unmöglich 
ist in ganzen positiven Zahlen a, b, c, p, q und 7, wenn 
mg 
8 : à 
Wie im $ 2 angedeutet, kann man das Theorem II weiter ausdehnen. 
Wir wollen aber dies bei einer anderen Gelegenheit zeigen. 
Satz 12. 
Bedeutet h eine beliebig gegebene positive Zahl und k eine beliebig 
gegebene positive oder negative von Null verschiedene ganze Zahl, so existiert 
eine so grosse ganze positive Zahl n, dass wenigstens eines der zwei Produkten 
hs TE N rn An 
und 
ja EK] fo SP HTA las tee 
wo Ay, A .... An N beliebige ganze verschiedene Zahlen bedeuten, durch 
ein Produkt aus mehr als h verschiedenen Primzahlen teilbar wird. 
Wenn nämlich dies nicht richtig wäre, so könnte man unendlich viele 
solche Lösungen a, b, der Gleichung 
a—b=k 
