22 AXEL THUE. M.-N. KI. 
Wir bekommen hier auch 
P,(e) = k, Ge) P, (e) 
Ferner gilt die Gleichung (96) fir n — 0 und n = 1, und endlich 
(95) fir n = 1. Wir wollen nun beweisen, dass die genannten Formeln 
auch für alle anderen ganzen positiven Werte von n gelten. 
Indem wir voraussetzen, dass (95), wo k, durch (94) bestimmt ist, 
richtig ist, wenn =m, so brauchen wir nur zu zeigen, dass (95) auch 
richtig wird fir n = m+ 1. Die Grösse A„+ı, aus der man P,,+2 und 
Qm+2 und hierdurch auch ¢,,42 bestimmt, ist so gewählt, dass sie die 
Gleichung (94) befriedigen. 
Aus (93) erhålt man dann 
Cm +2 Cm 
EE 
7 21 2 F?2(2) — [u] GO) = 20 UM [G' (1) Fe) — Ga) F’@)] 
oder infolge der Gleichung (89) 
Cm +2 — Cm g 
== = w? 
Henge 
Hiermit ist unsere Behauptung bewiesen. 
Durch die obenstehende Wahl von G(x) wird ferner die Gleichung 
(50) befriedigt. 
Denn aus (78) und (79) ergibt sich, indem wir hier erinnern, dass 
å > De ks à 1 
ko nicht gleich eins ist, sondern gleich 95 
( 
U(9) [u F (9) U’ (0) + 20 (G'(e) ku,» — 2U' (9) F’(e))] = 
= Ule)w [G' (0) — 3U' (9) F'(e)] = w [å U'(e) G (0) - 3U' (0) U) F'(e)] 
= 3øU"(0) [1 G (0) — Pe] = 0 
Da die Gleichungen (25) und (26) hier für n = 1 gelten, müssen sie 
folglich auch gelten für alle anderen positiven ganzen Zahlen n. 
Werden also die Grössen k, auf die obenstehende Weise bestimmt, 
so werden somit die durch die Gleichung (90) definierten Funktionen 
R,(x) ganze Funktionen. 
Durch Anwendung der Gleichungen (94) und (96) auf z. B. die Glei- 
chung (91) erhält man 
3_ w3(3n+ 2) (3n +4) AE 
Pr (0) = —— o G (2) P, (x) — F2(x) P, 1) 
Cn+1 Cn 2Cn 
