12 AXEL THUE. M.-N. Kl. 



Für alle Werte von p, q, a und ß ist indessen I 



[3 /"7 {q—p)a + {p^ + q' - -èpq'^) ß]'' + 

 [^PqKq-p)ci + {p^ + q^-~-apq'-)ß] [(P' + q^-Spq'-)a-ip^ + q^-3p^q)ß]-^ 

 [(/ + ^' — opq-) Ci — (/ _f ^3 _ 3^2 ^) ^]2 = 



[>- - /"7 + ^''1^ [«- -ccß-\-ß^^ ... (53) 



Folglich haben wir hier 

 a^ + ab + b^~ = [p^ -pq + q^f [a^ - aß + ß^] = c^ = \p^- -/><? + ^^Ja 



oder 



«2 — a/i + /^2 _ 1 _ _ (54) 



Man erhält also die Alternativen 



a = + 1 , /Î = ± 1 

 a = + 1 , ß = C) 



a = 0, /Ï = ± 1 



Ist z. B. a nicht durch 3 teilbar, so kann nicht 



ß-=^ 



In der Gleichung (45) kann man die Zeichen von p und q so wählen, 

 dafs u und ß nicht gleichzeitig negativ werden. 



Für 



« = , /Î? = 1 



bekommt man 



a=p^ J^ q^ — ^pq'i ...(55) 



b = — p^ — q^ + ^p'^q ... (56) 



Wäre nun 



rt — Å = /^3 ... (57) 



wo k eine ganze Zahl bedeutete, so bekämen wir 



2p'i + 2q^ — ^P'^q — dpq^ = k^ 

 oder 



(P -\-9)(p- 2?) {2p-q) = k^ ... (58) 



Schreiben wir hier 



p^ôpo 

 ç = ôqo 



