458 E. BONSDOKFF. 



finnas värdena på cos (à^—^) och således sjelfva bågarne h ~-^. Huf- 

 vudsvårigheten vid hithörande problemers lösning består i att finna, hvilka 

 cosiner skola så kombineras, att deras summor komma att bilda rötter till de 

 eqvationer, af hvilka problemets lösning- beror. Sjelfva konstruktionen erbjuder 

 i theori för öfrigt inga svårigheter. Gauss har, såsom nämndt, uppställt all- 

 männa theorin för andra gradens måughöruingar. Af tredje gradens månghör- 

 ningar har Atfolter medelst en vinkels tredelning konstruerat sju- och tretton- 

 hörningen samt hänvisat till samma förfaringssätt vid konstruktion af nitton- 

 och trettiosjuhörningen. Då likväl ej någon allmän method blifvit uppställd 

 för konstruktion af tredje gradens månghörningar och en sådan ej heller fram- 

 går från den allmänna theorin för konstruktionen af andra gradens mång- 

 hörningar, skola vi, i hopp att detta meddelande ej är utan allt intresse, i 

 det följande framställa en method, enligt hvilken man alltid kan fiima rötterna 

 till de eqvationer, på hvilkas upplösning konstruktionsproblemet baserar sig. 



I. 



Vi skola först i korthet angifva upplösningen af en tredje grads eqva- 

 tion medelst konstruktion. Med 2/i -j- 1 beteckna vi ett primtal och sätta 

 C, = cos (h ^"^ )■ Mellan funktionerna C,, existera följande vigtiga relationer: 



(1 ) C- C,- , för /( + /i' ^ O (mod. 2« + 1). 



(2) *i"a = -4*) 



h =1 



Enligt ()) är det tillräckligt att känna värden på C^, C.2, . . . C„, emedan 

 alla andra funktioner C äro lika med dessa. Är en tredje grads eqvation 

 funnen, som satisficeras af funktionerna C eller summor af dessa, kan den- 

 samma alltid bringas under formen 



j.^ - Spx + 2q = 0. 



Genom substitutionerna x ^= R cos a och pR = ?- öfvergår denna eqvation till 



jR' (4 cos 3« — 3 cos ß) + 82 = R^ cos 3« -f 8^ := 0. 



