Om regulieva månghörningar. 459 



Qvantiteterna R och « finnas genom eqvationerna 



R — 2 \/p och cos 3« = — . 



PVP 



För konstruktionen af « fordras en tredelning- af vinkeln 3« *). Eqva- 

 tionens rötter finnas genom att konstruera 



TI cos a, 7^cos(«+120"), i? cos (k + 240"). 



II. 



För att en regulier niånghörning, i hvilken sidornas antal är lika med 

 primtalet 2/1-]- 1 , må kunna konstrueras, måste ?i nödvändigt såsom prim- 

 faktorer innehålla endast 2 och 3. Vi skola med rf beteckna en primitiv rot 

 till primtalet 2?i -|- 1 ■ Då måste hvarje af de 2?i digniteterna d", d ', rf- . . . rf'^""' 

 vara i afseende på modulen 2/i -\- I kongruent med något af de hela talen 

 1,2,3... 2n och följaktcligen sig emellan inkongruenta. I allmänhet är 

 hvarje helt tal, som ej är delbart med 2n -{- 1 , kongruent med något af dig- 

 niteterna rf", rf' . . . rf'^""' i afseende på modulen 2« -f- I. 



Emedan 2n -j- I är ett primtal och rf naturligtvis ej kan vara delbar 

 genom 2« -|- 1 , måste enligt Fermat's theorem 



d''« = 1 (mod. 2h+1). 



Emedan rf är en primitiv rot, kan ingen annan af digniteterna rf", rf ' 



rf^"~' utom rf" vara kongruent med 1 och således ej heller rf"— 1 ^ O (mod. 

 2?i-\- \). Af kongruensen 



Ô2» — 1 = (rf«+ 1) (Ô« — 1) = O (mod. 2w + 1) 

 följer derföre, att 



Ô» + 1 — O och således Ô" -\^ — 1 (mod. 2)i + 1). 

 I det man multiplicerar med kongruensen rf" ei= — 1 identiteterna 

 Ô =d 

 à-^ = Ô- 



får man 



ö'' + i + =0 

 ô" + '-i-â' = 

 (3) (mod. 2,1 + 1). 



ö-2„-i_|_o«-i — o. 



*) Hn^PAUF, Löswig des Pi-ob/t-mes der Trisection mittels Concltoide auf circidärer 

 Basis. Leipzig 1872. 



