4 RICHARD BIRKELAND. M.-N. KI. 
ce volume les tourbillons et les divergences du vecteur 7. Pour pouvoir 
appliquer les formules 2 (h) il faut en outre connaitre les valeurs de 
q (u, v, w) sur la surface limite 5 ou ce que veut dire le méme les valeurs 
de q,— wa-l-vg--wy et un vecteur 2 H de composantes 9 — vy, 
uUy— wa, v«— uß; les a, B, y désignent les cosinus directeurs de la 
normale intérieure au point considéré de la surface S. Ce sont des données 
surabondantes. Il suffit de connaitre sur S seulement les valeurs de q, 
ou de 2 H. En connaissant 2 H il suffit de résoudre une équation inté- 
grale linéaire de la forme 4 (d). Une telle équation intégrale admet un 
systéme de solutions et un seul. En connaissant, au contraire, les valeurs 
de g, sur S on peut trouver directement les valeurs des composantes 
E, F, G de H en résolvant trois équations intégrales linéaires avec trois 
inconnues (5 (g)) Ce système d'équations admet une solution et une seule. 
Ce dernier probléme (d'intérét dans l'hydrodynamique) peut étre ré- 
soulu en résolvant le probléme de Neumann; mais nous avons preférés 
de devellopper les trois équations intégrales 5 (g) pour résoudre le pro- 
bléme, cas ces équations sont importantes dans la théorie des courants 
électriques superficielles que nous avons developpée au chapitre II, car on 
rencontre (S 6) ces équations intégrales quand il s'agit de déterminer les 
intensités et les directions des courants superficielles sur S en connaissant 
les forces magnétiques sur un côté de 9. 
Dans le cas de deux variable x, y nous obtenons des formules ana- 
logues aux formules 2(h) pour trouver les valeurs d'un vecteur g, de 
composantes u, v, dans une aire A limitée d'un contour C au moyen des 
valeurs de: e un e eu ab n dans l'aire A et les valeurs de g ou 
ox ey oy ex 
ce que vent dire le méme les valeurs de q, — w««-- v8 et 2G —va—wuf 
sur C (8(e). Il suffit de connaitre sur C une de ces quantités. Pour 
déterminer une de ces quantités en connaissant l'autre nous obtenons une 
équation intégrale exactement de méme forme (9 (b) ou 10 (b)). 
En échangeant dans les formules 8 (e) les quantités u et v et en 
introduissant la variable complexe 2 — z 4-29 et f(z) — u + tv nous ob- 
tenons une formule rr (b) exprimant la valeur de f(z) a un point quel- 
conque Z intérieur au contour C au moyen des valeurs de la méme fonc- 
tion tout le long de ce contour et les valeurs de 4 = — — — dans 
y 
l'aire A. Cette formule subsiste méme dans le cas ou il existe des lignes 
de discontinuité pour 4. Pour 4 — 0 dans À nous obtenons la formule 
célèbre de Cauchy sur des fonctions de 2 — z-?y holomorphes dans 
l'aire À. 
