1917. No.2. RECHERCHES SUR QUELQUES PROBL. MATHÉMATIQUES ETC. 5 
Au dernier paragraphe ($ 12) nous appliquons nos résultats à l'étude 
du mouvement d'un fluide en mouvement dans des plans parallèles. En effet. 
Considérons un fluide en mouvement dans le plan des x, y et limité par 
un contour C dont la forme et la position peuvent varier avec le temps. 
Soient q (^w, v) les vitesses à l'instant {. En supposant connus, à l'instant f, 
les tourbillons et les divergences dans l'aire 4 limitée par C et les valeurs 
de q, sur C les vitesses sont déterminées par les formules 8 (e) en résol- 
vant une équation intégrale de la forme 9 (b) ou 10 (b). Nous trouverons 
aussi exprimés par les mémes quantités les équations des lignes de courant 
à l'instant ¢ et les équations des lignes perpendiculaires aux lignes de courant. 
Dans les parties du fluide ou les tourbillons sont nulles ces dernieres lignes 
sont des lignes équipotentielles. 
2. Formules importantes dans les applications. — Soient u, v, w, x 
quatre fonctions de 2, y, 2 continues, uniformes avec leurs dérivées partielles 
du premier ordre dans un volume V limité par une surface S et y le nombre 
— 1 ou —1. Nous envisageons les intégrales triples et doubles 
ew 9v'A , "(0 OW'\ , av ou'\ , 
—lla—v*z2|xd4, A= UP cux E Does AE it 
P, (er v sz) xdv, Qi | B 5 y dr. I Ie y ay x. dr 
y y 
V 
Py = fQe'Bg'— vv'y )xdo, Qy—f(wy —vwao)xdrz, Ra—j(v'a—wvwB)xdo 
(a) S S 
' au’ e jl au" " ' (EN En? CM Py 
MS SMK tapa) ds — — foule +08 + ny }r' do 
oy dz S 
ta 
ax' 
Vy 
P=-P+P, Q=AtQ, R=R+R, d=d+9: 
étendues au volume V et à la surface S. Les notations w', v', w', x dé- 
signent les valeurs de 4, v, w, x dans l'élément de volume dr = dz’, dy’, dz’ 
de coordonnées 2’, y', 2’ et dans l'élément de surface do. Les a’, py 
désignent les cosinus directeurs de la normale à l'élément dø dirigée vers 
l'intérieur du volumeV. En intégrant par parties les intégrales triples il vient! 
1 Nous appliquons les formules connues (PAUL Arperr, Traité de mécanique rationnelle, 
tome III, p. 4) 
JE i dr = — | a'Fdo, I5 at = — | 8 G'da , 
Ox 
y S y = 5 
F' (Gv, y, s), G' (x, y, s), ... étant des fonctions continues admettant des dérivées 
partielles du premier ordre. En posant par exemple F' = wx’ il vient 
A 
PAG ee heh. , oH 
mdt = — ww» — | u — dt, 
dx ! dx 
y : > y 
Les autres formules appliquées s'obtiennent en permutant «', v, w; x', y, 25 a, 8,7 
On dit souvent qu'on a intégré par parties les intégrales triples. 
