8 RICHARD BIRKELAND. M.-N. KI. 
4 zc v u (z, y, 2) ) PSD VO eQ 
0 ex oy 02 
Any (x, y, 2) ! (DC AST S eR E +1 
(h) 0) gy Me adt 
A zc y tw (a, y, aa ep" =a oP 
suivant que le point M(z,y,z) est a l'intérieur ou à l'extérieur de V. 
[23 , , 1 
Les P, Q, HB, &', 8", ®"' sont donnés de 2 (a) et (e) en posant x = ae 
Nous obtenons le méme résultat avec une surface fermée quelconque entourant 
le point M au lieu de la sphére X. En effet. Soit s une petite surface fermée 
entourant le point M et ayant la sphère X à l'intérieur. Désignons par V" le 
volume compris dans le volume initial V at extérieur à s, par I, et Js les 
intégrales de surface 2 (g) prisent respectivemant sur les surfaces s et S 
et par 7" et TY les intégrales triples dans la premiere des formules 2 (f) 
correspondantes aux volumes V’ et V" respectivement. Il vient alors en 
T 
appliquant la première des formules 2 (f) aux volumes V' et J 
Is4-I--T'—0, Is+I+T"—0 
d'oü 
I—II, == TY" —T' 
Lorsque le rayon de la sphère X tend vers zéro et en méme temps la 
surface s vers le point M la différence TY — T" tend vers zéro. 
L'intégrale 7, tend donc vers la méme limite que I c'est à dire vers 
— 4 zt v w (a, y, 2). 
Les formules 2 (h) subsistent encore sans changement, s'il existe 
dans V des surfaces de discontinuité pour les dérivées partielles de u, v, w 
pourvu que le vecteur q (u, v, w) soit continu. Si ce vecteur est discontinu 
il faut ajouter des termes complémentaires. 
En effet. Soient X une surface de discontinuité divisant le volume V 
en deux parties a et b et qy (ty, v1, Àj) et Yo (Uo, v», We) les valeurs de 
q(u, v, w) de part et d'autre de la surface de discontinuité, g, étant les 
valeurs du côté du volume a (côté 1) et go les valeurs du côté du vo- 
lume 6 (coté 2). Désignons par £5, (s, fi, Da, 5, Ds ce que devient 
T Qn Ds, Ds, Dy respectivement en intégrant sur la surface de 
discontinuité % au lieu sur la surface S, en remplacant «, v, w par 
Hy — Mm, Va — V1, Wa — Wy, respectivement et a, f', y par les cosinus 
directeurs des normales aux points do de X qui vont du côté 1 au côté 2. 
