I4 i RICHARD BIRKELAND. 
M.-N. Kl. 
des données surabondantes; il suffit! de connaitre sur S seulement les 
valeurs de g, ou de H. Les quantités g, et H sont donc sur la surface S 
liées les unes aux autres; nous allons trouver certaines équations inté- 
grales linéaires qui servent à déterminer une de ces quantités en con- 
naissant l'autre. Proposons nous d'abord de déduire les valeurs de q, en 
connaissant H sur $. 
Supposons d'abord H — 0 sur $. Nous avons alors en posant dans 
les formules préliminaires 2 (f) » — 1: P> = Qs — R$ — 0. Soit £(z, y, 2) 
un point de la surface S et supposons qu'il existe à chaque point de S 
un plan tangent déterminé. Désignons d'une manière générale par ¢ (f) 
une fonction @ des coordonnées d'un point /£ (x, y, 2); nous avons au point ¢ 
qu (t) = u(t) a(t) + v(t) (0 + ve(0) y (t) 
a(t), 9 (t), y (t) étant les cosinus directeurs de la normale intérieure au point f. 
1 
Posons dans les formules 2 (f) «= = 
‚r— yz — x? +(y— y -4-(c—2p 
et appliqueons les formules au volume V, compris dans le volume V et 
1 Soient g et 4, deux vecteurs ayant à l'intérieur de V les mêmes tourbillons et les 
mêmes divergences. Nous avons alors 
q = 91 + grad g 
gy étant une fonction harmonique à l’intérieur de P. Si les deux vecteur sont en outre 
à chaque point de S les mêmes composantes sur la normale intérieure nous devons avoir 
Ó IE 
A cota. Fy=0 (sur S) 
La fonction harmonique gy est donc constante dans V (PAUL APpPELL, loc. cit. pag. 90) 
d'où g = q,. Au contraire. Si les deux vecteurs ont sur .$ les mêmes vecteurs 77 
nous devons avoir 
log 1 1029 
omi row eoe (sur .S) 
« Ox B dy y 03 
À étant une fönction de x, y, 3. En appliquant la formule 2 (k) au vecteur 4 — q1 = grad q 
nous obtenons en vertu de la condition précédente 
"ESRB IUE ta (77 
7% 
S 
À' étant la valeur de À au point do de S. Donc 
4 zt grad y} 5 
= D 
0 f grad P3 
suivant que le point considéré est à l'intérieur ou à l'extérieur de V. La fonction Pz 
est donc nulle à l'extérieur de V, car elle est nulle à l'infini, Elle est donc aussi nulle 
sur la surface S. A l'intérieur de S elle est harmonique; elle est donc aussi nulle au 
volume V (voir PAur APPELL, loc. cit. p. 86). 
