1917. No.2. RECHERCHES SUR QUELQUES PROBL. MATHEMATIQUES ETC. RT 
5. Les équations intégrales définissant les valeurs de H. — 
Supposons qu'on connaisse à l'intérieur de V les tourbillons et les diver- 
gences du vecteur 7 et sur la surface S les valeurs de gx. Proposons 
nous des trouver les valeurs de H sur S. On peut ramener ce probléme 
au problème de Neumann!. Nous préférons de déterminer les composantes 
E, F,G directement par un systéme de trois équations intégrales linéaires 
avec trois inconnues, car ces équations sont importantes dans la théorie 
des courants superficielles que nous allons developper au chapitre suivant. 
Supposons d'abord q,— 0 sur 5. Les valeurs de E, F, G au point 
i (zr, y, z) de S sont 
2 E(t) — w(t)B(t) —v(y(0, 2 F(t) —w(t)y(ft) — w(t) a(?), 
2 G (t) — v(t) a (t) — u(t) 8 (t) 
1 On peut procéder de la manière suivante. Soit x9, yo, 29 un point dans V et 5 la 
z 
fonction 2 f E(x, y, z)dz. Le vecteur L (a, b, c) déterminé par 
<0 
y y 2 
T à 
a— u4 2 | £2 dy t Jo, ay, b=v+2) E(x, 2) dz, 
20 
Jo 50 
x 
c=w+2 j n (x, yo, 2) dx 
Xo 
dérive d'un potentiel, En effet, Nous avons 
de db À 
Bop EDAM SS Ade 
54 
da dc dË dE 
— — ——=2 3 2 — + — — 2 n (X, Yo, 2) = 
ds dx n (x,y, ) + ee 4 dy n (x, yo, ) 0 
J0 
db da dË 25) 
— — — =2C (x,y, 6 un — 26 (x, 7, 3) = 
ET &(x,5; 2f se dz — 2Ë(x, y, 3) =0 
20 
Nous connaissons les divergences et les tourbillons de ce vecteur. Le vecteur 
dt 
r 
al, l fur 
Ne era; f dive 
V 
dérive d'un potentiel y qui est fonction harmonique à l'intérieur de V, Soient /V4 les 
valeurs sur S des projections de /V sur la normale intérieure. Nous avons 
d 
Nn = = = quantité connue sur S 
n 
car les valeurs de gn sont données sur S. Pour trouver la fonction y il faut donc 
resoudre le probléme de Neumann. 
Vid.-Selsk. Skrifter. I. M.-N. Kl. 1917. No. 2. 2 
