22 RICHARD BIRKELAND. M.-N. KI. 
pe est donc constante dans V,. La dérivée normale est donc aussi nulle 
sur le côté extérieur de 5 et par conséquence sur le côté intérieur de $ 
car le saut brusque de cette quantité est nul en traversant S. La fonc- 
tion g; est donc constant à l'intérieur de V.! Mais celà n'est possible que 
dans le cas où EH — F — G — 0 sur $ [voir 5 (h)] q. e. d. 
D'autre part. On peut écrire 
2 E()— AD [#0 EDS de 
ta 
car E(0)a(c) + Fo) 8 (0) + G (0) y(c) — 0 sur S. Les coefficients de 
g d. 1 
E(o), Fo), G(c) deviennent donc infinies comme — au point f, m, étant 
q 
positif et plus petit que 2 [voir l'hypothese 5 (d)]. D'autre part. Nous 
avons démontrés: Les équations intégrales homogènes obtenues en posant 
A (t) = .B(t) = C(t) — 0 ont seulement la solution EH = F— G — 0. Nous 
pouvons donc conclure d'aprés une proposition bien connue de M. Fred- 
holm: Le système d'équations intégrales 5 (g) admet un système de solu- 
tions et un seul. 
Les équations intégrales ne sont valables que dans le cas ou 9, — 0 
sur S. Considérons maintenant le cas général. Soit p (A, u, v) un vecteur 
tel que 
n,—hotuß+vy= Mm (sur 5) 
Il est évidemment possible de trouver une infinité de vecteurs satisfaisant 
à cette condition. Cela posé; considérons le vecteur m — q — p. Les 
divergences et les tourbillons de ce vecteur sont connues à l'intérieur 
de V et les projections sur les normales sont nulles à chaque point 
de S. Les équations fonctionnelles précédentes sont donc applicables au 
vecteur Mm. 
Dans le cas ou la surface S est composée de plusieurs surfaces fermées 
il faut procéder de la maniére suivante: Pour fixer les idées supposons 
que la surface S limitant le volume V soit composée de deux surfaces fermées 
distinctes s, et Ss, la surface sy étant à l'intérieur de ss. Sur ces deux 
E 
surfaces nous connaissons les valeurs de 4, et à l'intérieur de J’ les 
1 Paur APPELL, loc. cit. p. 90. 
