30 RICHARD BIRKELAND. M.-N. KI. 
Pour trouver les valeurs du vecteur y à chaque point de 4 il suffit 
de connaitre 
1%, Les valeurs des tourbillons (2) et des divergences (0) dans A. 
29. Les valeurs de q, ou de @ sur C. 
Nous allons bientót trouver une équation intégrale pour trouver une 
des quantités 4, ou @ en connaissant l'autre !. 
9. Équation intégrale définissant les valeurs de q, sur C. — 
Supposons qu'on connaisse à l'intérieur de C les tourbillons et les diver- 
gences du vecteur 4 et sur C les valeurs de G. Proposons nous d'en 
déduire les valeurs de gx sur C. 
Nous procédons comme au $ 4. Supposons d'abord G — 0 sur C. 
Il vient alors de 8 (d) 
ed ed 
e fü 
2x a(t) + ay 
ey 
* 95 
ox 
(a) B(t) + =~ a(t) B(t) = 0 
t étant le point x, y au contour C et a(t), f(t) les cosinus directeurs de 
, 1 
la normale intérieure au point f£. Posons z = log PX Ye — 2-4 (y—Jy)y 
et appliquons la formule à l'aire À, qui est l'aire initiale À moins la 
partie de l'aire d'un petit cercle c (autour de f) qui est à l'intérieur de À. 
Soit c, la partie du cercle c qui est à l'intérieur de A. Le cercle divise 
le contour C en deux parties C, et C5, la partie Cy étant à l'intérieur de c. 
L'angle sous lequel du point £ on voit l'arc c, tend vers z lorsque le 
! On peut ramener le problème de trouver G en connaissant g, au problème de Neu- 
mann de la manière suivante, Designons par / (1, #1) le vecteur suivant 
295 VR 
9x dy 
0%) aR, 
27 Ay " 2% AS 
dy dx 
Les deux vecteurs 4 et fi ont dans l'aire A les mêmes tourbillons et les mêmes 
divergences. En effet nous avons 
2ndivf= Id —2divg , 27 curlf = — AR; — 22 curlg 
Nous avons donc A: 
q— fi + grad f 
f étant une fonction harmonique dans l'aire A. Sur le contour nous avons 
of of df ; 
—u — f= — =g, — (ha 14 8) 
ax: dy Xs fn 14 + 4, 
qui est une quantité connue en supposant connu dans A les tourbillons et les diver- 
gences de 4 et sur C les valeurs de g,. La fonction harmonique f est donc com- 
plétement déterminée si l'aire A est a connexion simple. 
