36 RICHARD BIRKELAND. M.-N. KI. 
Nous avons donc aussi c(/) — 0 sur C. La fonction holomorphe corre- 
spondante est donc identiquement nulle. La fonction holomorphe est 
aussi nulle si nous avons uB +va—0 sur C. Nous allons appliquer 
ces remarques. 
Soient f, =u, + tv, (e — 1, 2, 8,..., n) n fonctions de z holomorphes 
dans l'aire A et telles que 
(c) 4 B 3- v1 o — X E, (wu, B + v, o) (sur €) 
le signe X indiquant une sommation depuis e == 2 jusqu'à e — n et ho, ha, 
..., Ky des constantes. Nous avons alors identiquement dans l'aire A 
FO) = A) — x À, f. (e) = 0 
En effet. Si nous posons f(2)=w-+ iv nous avons en vertu de 11 (c) 
uB—+va—0 sur C. La fonction holomorphe f(z) est donc null iden- 
tiquement dans l'aire 4. 
Si nous avons sur le contour C 
(d) wh B d-v1o — X k, (wu, o — v, B) 
nous avons identiquement dans l'aire A 
f(e) — hi) — à x ke, f. (2) — 0 
En effet. D'aprés 11 (d) nous avons wg--v« — 0 sur C. La fonction 
holomorphe f(z) est donc nulle identiquement sur C. 
De la première de ces remarques nous pouvons conclure: Soit 9 un 
vecteur de projections v et w# sur l'axe des x et l'axe des y. 
Désignons par 9, — va + wg et q; — ua — v() les projections de ce 
vecteur sur la normale et la tangente à un point quelconque du contour C 
et supposons que la fonction # + iv soit holomorphe dans l'aire À. 
Si nous augmentons les valeurs de q, à chaque point de C dans le 
méme rapport constant nous augmentons aussi les valeurs de q; dans le 
méme rapport et inversement. 
Revenons à la formule 11 (b) Soit I un cercle dans l'aire A 
Supposons 
me are), ae 
4 (2 ) cs ET == EVA 
intérieur au cercle mais différent de zéro dans le reste de l'aire A. La 
fonction f(z) donnée par 11 (b) est alors holomorphe intérieur au cercle J’ 
et peut-être representée par un developpement convergent suivant les 
