Die Kombinatorik ist ein Zweig der Mathematik, dem die Mathematiker 
gewohnlich nur wenig Aufmerksamkeit gewidmet haben, wahrscheinlich weil 
er den meisten zu trivial und elementar erscheint, als dafs etwas Nennens- 
wertes von Interesse daraus zu erhalten ware. Und doch ist es unbestreit- 
bar, dafs mehrere der Theorien und Probleme, die in der Mathematik un- 
abhängig von der Kombinatorik behandelt werden, trotzdem eigentlich der 
Kombinatorik angehóren, und eine weitere Entwicklung der letzteren wird 
auch deshalb sicher nicht ohne Bedeutung sein. Man kann z. B. sagen, 
dafs die ganze Substitutionentheorie nur ein Zweig der Kombinatorik ist. 
Sogar ein Problem wie, die Gruppen einer gegebenen Ordnungszahl zu 
finden, kann in einer weit näherliegenderen Weise, als man gewöhnlich 
meint, als ein rein kombinatorisches aufgefafst werden, wie ich näher er- 
làutern will. Dieses Problem kann nàmlich so ausgedrückt werden: 
Es seien » Dinge aq, @&,..., a, gegeben. Man wünscht zu wissen, 
wie viele Systeme von Variationen es zur dritten Klasse gibt, die folgenden 
Bedingungen Genüge leisten: 
1) Wenn a und 5 zwei beliebige der # Dinge sind, so gibt es ein 
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und nur ein Ding c, so dafs (abc) eine der Variationen des Systems 
2) Wenn a und c zwei beliebige der z Dinge sind, so gibt es ein 
und nur ein Ding 5, so dafs (abc) eine der Variationen des Systems ist. 
3) Wenn 6 und c zwei beliebige der » Dinge sind, so gibt es ein 
und nur ein Ding a, so dafs (abc) eine der Variationen des Systems ist. 
4) Wenn (abe), (bcB), (aBy), (acd) vier Variationen des Systems sind, 
so sind y und d dasselbe Ding. (Dies ist das associative Gesetz). 
Eine »Gruppe« kann also in dieser Weise als ein System von Varia- 
tionen zur dritten Klasse, das vier Bedingungen genügt, definiert werden. 
Eben den Teil der Kombinatorik, der von Systemen von Paaren, 
Tripeln, Quadrupeln u. s. w., die diesen oder jenen Bedingungen genügen, 
handelt, wird es deshalb von besonderer Bedeutung sein weiter zu ent- 
