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Zweitens kónnen die 2 Tripel so gewählt werden, daf3 sie zusammen 
nur 4 der 5 Dinge enthalten. Zuerst kónnen dann diese 4 Dinge auf 
5 Arten gewählt werden, und darauf kónnen für jede dieser Auswahlen 
4 
die 2 Tripel auf ($) — 6 Arten gewählt "werden. Dies gibt im ganzen 
5.6 — 30 Auswahlen. Dann kann aber bei jeder dieser 30 Auswahlen 
das Paar auf 4 Arten gewählt werden. Also erhält man im ganzen 4.30 — 
120 Auswahlen, wenn die 2 Tripel zusammen nur 4 Dinge enthalten. 
Es gibt demnach 150-+ 120 — 270 mögliche Auswahlen in Über- 
einstimmung mit dem oben gefundenen Resultat. 
Ich will auch eine Variation der ersten Aufgabe dieses Paragraphen 
behandeln. Man kann die Anzahl der Paarsysteme suchen, die so be- 
schaffen sind, daß jedes Paar aus einem der m Dinge a,,a5,..., a, und 
einem der » Dinge 5,,05,..., 5, besteht, und sowohl jedes der m Dinge a 
wie jedes der » Dinge 6 in mindestens einem der Paare vorkommt. Durch 
ein Verfahren derselben Art wie in jener Aufgabe findet man, dafs diese 
Zahl gleich 
m n 
D » (= eas sim n gm — r)(n— s) 
r s | 7 S 
Ü 0 
sein muß. Wenn man will, kann dies auch in folgenden Formen geschrieben 
werden: 
n 
E aoo mv s QUSE CE OCT VG 
p 1) m (2 1) oder 1) fd (2 1) 
0 0 
Es gibt auch sehr viele andere Arten von Aufgaben, die für Paar- 
systeme aufgestellt werden kónnen. Ich gebe ein Beispiel. Man kommt 
oft dazu, Paarsysteme zu betrachten, die so beschaffen sind, dafs, wenn 
sowohl (ab) wie (bc) Paare eines Systems sind, dann auch (ac) ein Paar 
desselben Systems ist. Solche Paarsysteme kónnen »transitiv« genannt 
werden. Man kann nun versuchen, die Anzahl der transitiven Paarsysteme 
zu finden, die von » Dingen gebildet werden können. Dies ist nicht 
schwierig, wenn man nur von einer charakteristischen Eigenschaft der 
transitiven Systeme Gebrauch macht, nämlich der, dafs die in einem 
solchen System enthaltenen Paare sich in gewissen disjunkten Teilsystemen 
so verteilen, dafs die Paare innerhalb eines jeden dieser Teilsysteme die 
sämtlichen Paare sind, die von gewissen der gegebenen Dinge gebildet 
werden kónnen. Man kann es auch in der Weise ausdrücken, daf3 die 
Paare eines transitiven Systems die sümtlichen Paare sind, die innerhalb 
eines jeden von gewissen disjunkten Teilen des ursprünglichen Systems 
