1917. No.6. UNTERSUCH. ÜBER EINIGE KLASSEN KOMBINAT. PROBLEME. 23 
von Dingen gebildet werden kónnen. Die transitiven Systeme gehóren 
also in dieser Weise ein-eindeutig zu den verschiedenen Auswahlen von 
einem oder mehreren disjunkten Teilen des Systems der gegebenen Dinge 
— jedoch mit der Einschränkung, daß jeder Teil wenigstens 2 Dinge ent- 
halten muß. Nun ist aber die Anzahl der Weisen, worauf man innerhalb 
eines Systems von n Dingen m disjunkte Teile, von denen jeder wenig- 
stens 2 Dinge enthält, so wählen kann, daf3 sie zusammen 7 dieser » Dinge 
enthalten, gleich 
m m—q i (eta q) male 
24 2), p! (np q) D CT q . (Vergl. e. 6) 
Folglich ist die gesuchte Zahl gleich 
s] v Me X 
n (— a ee IR 5 
253) o») m m — p — q)! q ; 
1 
Diese Formel kann etwas verkürzt werden, indem die Summation mit 
Rücksicht auf » ausgeführt werden kann. Man erhält dann 
SPEARS p ar 
p!q 1 
0 
mpg)! 
§ 3. 
Kombinatorische Reziprozitaten. 
Es herrscht in der ganzen Theorie der Einteilungen und Gruppierungen 
ebenso wie auch der Paarsysteme, Tripelsysteme u. s. w. ein Dualismus, 
der sehr bemerkenswert ist. Er besteht in folgendem: 
Hat man m Systeme, die von » Dingen gebildet sind, so kann man 
diese Systeme als m neue Dinge betrachten, und dann wird, wie ich schon 
früher erwähnt habe, die Verteilung der » Dinge in diesen m Systemen 
mit einem Paarsystem (von höchstens mn Paaren bestehend) gleichbedeutend 
Sein. Wenn a), @,...,@m die Systeme bezeichnen, und 5,, 5,..., du die 
Dinge bezeichnen, so besteht das Paarsystem aus allen Paaren (a,, 2;), für 
welche 5, ein Element des Systems a, ist. Nun kann man aber umgekehrt 
die x Dinge 6, als Systeme auffassen, die von den m Dingen a, gebildet 
sind. Das System 5, besteht dann aus allen Dingen a,, die mit 6; zu- 
sammen Paare des Paarsystems bilden, oder m. a. W., die als Systeme 5, 
