24 TH. SKOLEM. M.-N. KI. 
als Element enthalten. Zu jeder Zusammenstellung von n Dingen zu m 
Systemen gehört also in dieser Weise eine ganz bestimmte Gruppierung von 
m Dingen zu n Systemen. Dies ist die duale Umdeutung. 
Ich will dies durch einige Beispiele erläutern: 
Hat man 4 Dinge in den 3 folgenden Systemen verteilt 
(abc) (abd) (acd), 
so erhält man durch duale Umdeutung folgende Verteilung von 3 Dingen 
in 4 Systemen 
(aBy) (aß) (ay) (By). 
Werden nämlich die 3 Systeme (abc), (abd), (acd) beziehungsweise 
a, D, y genannt, so ist die gegebene Verteilung mit dem Paarsystem 
(aa) (ba) (ca) (a8) (68) (dB) (ay) (cy) (dy) 
gleichbedeutend. Werden aber hier die Dinge a, 5, c als Systeme auf- 
gefafst, so erhált man die Verteilung 
(a7) (a8) (ay) (By). 
Ist die Verteilung von 4 Dingen in 6 Systemen 
(ab) (ac) (ad) (bc) (bd) (cd) 
gegeben, so erhält man durch duale Umdeutung folgende Verteilung von 
6 Dingen in 4 Systemen 
(aB7) (ade) (802) (yet). 
Indessen lassen sich natürlich auch andere Umdeutungen ausführen. 
Denn wenn jede Verteilung von » Dingen in m Systemen auch als ein 
Paarsystem von m + mn Dingen gebildet gedacht werden kann, so kann 
man diese Verteilung von m + z Dingen in Paaren wieder dual umdeuten 
u.s. W. In dieser Weise kann man aus einer ursprünglich gegebenen Ver- 
tellung sogar unendlich viele andere Verteilungen ableiten. Diese Ver- 
teilungen werden allerdings von desto speziellerer Natur, je weiter der 
Prozeß getrieben wird. 
Von größter Wichtigkeit ist die bloße duale Umdeutung. Ich will im 
folgenden einige Anwendungen von diesem Dualismus machen. 
In $ ı fanden wir, daß 
Dylan 
die Anzahl der Arten war, wie » Dinge zu m nicht-leeren Systemen, 
die unter einander disjunkt waren, zusammengestellt werden konnten. 
