1917. No.6. UNTERSUCH. ÜBER EINIGE KLASSEN KOMBINAT. PROBLEME. 31 
Die Richtigkeit dieser Gleichungen ist leicht einzusehen. Es sei e 
eines der einwertigen Dinge. Dann zerfallen die Paarsysteme in zwei 
Klassen: Erstens die, in welchen e mit einem zweiwertigen Ding, und 
zweitens die, in welchen e mit einem der anderen einwertigen Dinge ver- 
bunden ist. Im ersteren Falle kann das 2-wertige Ding auf » Arten 
gewählt sein; im zweiten Falle kann das andere r-wertige Ding auf p— 1 
Arten gewählt sein. Wird dann das e enthaltende Paar weggenommen, so 
erhält man im ersteren Falle ein aus 7 —1 2-wertigen und f I-wertigen 
Dingen gebildetes Paarsystem; im zweiten Falle erhält man ein Paar- 
system, das aus » 2-wertigen und p—2 1-wertigen Dingen gebildet ist. 
Hierdurch ist die Richtigkeit der Gleichung I bewiesen. Analog kann auch 
die Richtigkeit der Gleichung II bewiesen werden. Ist nämlich ¢ eines der 
zweiwertigen Dinge, so kann es entweder mit 2 der anderen 2-wertigen 
2106-23) 
; : Ur - : : 
Dinge, die dann auf SET Arten gewåhlt sein kånnen, oder mit 
einem der anderen 2-wertigen und einem 1-wertigen Dinge, die dann auf 
(n— 1)p Arten gewählt sein können, oder endlich mit 2 ı-wertigen Dinge, 
Sal 
die auf SUR ! Arten gewählt sein können, verbunden sein. Durch Weg- 
nahme der zwei / enthaltende Paare erhált man im ersten Falle ein Paar- 
system mit » — 3 2-wertigen und p+ 2 1-wertigen, im zweiten Falle ein 
System mit #— 2 2-wertigen und ? 1-wertigen, und endlich im dritten Falle 
ein System mit #— 1 2-wertigen und $— 2 ı-wertigen Dingen. Hierdurch 
ist auch die Gleichung II bewiesen. 
Der Beweis setzt jedoch voraus, daß in Gleichung I $750 und in 
Gleichung lI »>0 ist. 
Mit Hilfe der Gleichung I lassen sich alle Zahlen .4,,, durch die 
Zahlen 4,,, und A,,, ausdrücken. Es ist übrigens leicht zu sehen, daß 
immer A„p= 0 ist, wenn f eine ungerade Zahl ist, so dafs man sich auf 
den Fall beschränken kann, wo P eine gerade Zahl ist. Wenn das Paar- 
system aus » 2-wertigen und f 1-wertigen Dingen gebildet ist, muß ja die 
Anzahl der Paare gleich nF sein, so daß p gerade sein muß. Wir 
können deshalb gerne 2/ statt p in unseren Gleichungen I und II schreiben. 
Setzt man außerdem 
An,2p = n! (2p— 1)(25—3) 8:1: Boy, 
so erhält man für die Zahlen B,2, folgende einfache Rekursionsformel: 
Bn, 2p — Bu—1,2 -- Bn, 2p—2 + 
