36 TH. SKOLEM. M.-N. KI. 
Dann bestehen folgende Rekursionsformeln: 
I. Fe UNES SE LEDERE 1 + nAm, n—l,p + (p— A . 
m(m — 1 
II. iar FE ads 9 BE nl, p —- m (n — Den, p+1 a. Mp Ay, ne + 
(n — 1)(n— 2) (og 
+ FT Am, n—3, p ra == (n FE] 1) 5l, n—2, p + PE Am, n—1, p—2 Li 
m— 1 m— 1] 
I. ccu D ( 3 ) Am Ania, p + ( 9 ) nA, a, n+1, p+1 + 
m -—1 
— (m c 1) [2 Ay dnd pd + 2 Am=1,n—8) p18 + ( 9 o p—1 + 
+ (m a 1) 7pAm—s, ny p + 6 puse n—2, p4-1 — (m — 1) (2) Ama, n+-1, p—2 — 
=f n 3 Annas (2) RE En, > 
Der Beweis wird dadurch geführt, daß man von dem Paarsystem das 
(die) Paar(e), in dem (denen) ein bestimmtes der ein-, zwei- oder drei- 
wertigen Dinge vorkommt, wegnimmt. 
Will man diese Formeln zu wirklicher Ausrechnung der Zahlen Åm,n,p 
benutzen, so braucht man übrigens nicht II und III in dieser vollstándigen 
Gestalt. Man kann statt II und III die beiden Gleichungen 
(n = HIC — 2) 
11% Aund — E Annan d- m (n — DT — 7 9 Am, n— 
tt ee) 3 
Di eo Be : ES NE 
benutzen. 
Mit Hilfe der Gleichung I kann ja jede Zahl 4,,,, durch Zahlen der 
Form 44,,,0 ausgedrückt werden. Mit Hilfe der Gleichungen I und II’ 
zusammen lassen sich wieder alle diese Zahlen auf Zahlen der Form 40,0 
zurückführen. Durch Anwendung aller drei Gleichungen I, II’, III" können 
folglich alle Zahlen Åm,n,» gefunden werden. Man braucht natürlich diese 
Formeln nicht weiter zu benutzen, als bis man hinreichend kleine Indizes 
erhalten hat, um unmittelbar die Werte der Zahlen sehen zu kónnen. 
Beispiel: Ausrechnung von Å3, 2,1. 
As 9.1== 343,0 + 2.43,1,1; As,1,1= 3A2,2,0-+ 43,01; 12,3,0 — Ao,4,0-- 
441,2,1 + aos; Ae,2,0 = Ao3,0 + 2411; 40,1 9712,10; 22,92 = 
24,11 + 42,00. 
