1917. No.6. UNTERSUCH. ÜBER EINIGE KLASSEN KOMBINAT. PROBLEME. 87 
Weiter braucht man die Rechnung nicht fortzusetzen; denn man sieht 
unmittelbar, daß Å1,1,1 — 0, A20,0— 0, 42,1,,—— 0 und Å1,2,1— 1 ist. Die 
Zahlen Å0,n,p sind früher behandelt worden. Man hat (S. p. 34) Ao,3,0 — 1 
! 
und 24o4,0 = = —3. Also wird 
As 2,0 = k, As, [5 3, Ass, = rp und endlich 43.2,1 — 9.4 — 2.3 = 97. 
Die Zahlen A wachsen sehr schnell bei wachsender Anzahl der 
gegebenen Dinge. So hat man 
A, = 1, 44e, 0,0 = 70, 48,0.0 = 19355, Ajo,0,0 = 11180820, 
A19,0,0 = 11555272575. 
Man kann auch für diese Zahlen .4,,,,, andere Rekursionsformeln 
angeben. Zum Beispiel ist 
1 
6 
— Sn a, na, pii + 2(m — 1) Am-2,n,r)- 
IV. Am, hy DE (A m—1, n, p az 3 (m er 1) A —2, N PTE — 9 Am—1, n, p+1 Tu 
Diese Gleichung kann dadurch bewiesen werden, dafs man eins der 
dreiwertigen Dinge durch 3 einwertige ersetzt. Die letzteren müssen dann 
augenscheinlich der Bedingung unterworfen werden, daf3 sie mit 3 ver- 
schiedenen Dingen verbunden sind, und daß nicht zwei von ihnen mit- 
einander verbunden sind. 
Ohne diese Bedingung würde die Anzahl gleich An-ı,n,p+3 gewesen 
sein. In einigen von diesen Paarsystemen sind aber 2 der 3 neuen ein- 
wertigen Dinge mit ein und demselben Ding verbunden, und dieses Ding 
ist entweder dreiwertig, was auf ;4— 1 Arten möglich ist, oder zweiwertig, 
was auf » Arten möglich ist. Weiter können auch die zwei der drei neuen 
Dinge, die mit demselben Ding verbunden sind, auf 3 Arten gewáhlt werden. 
Also müssen 3(m —1).4s 2,5512 und 37.45 3,, 1, 5;1 Subtrahiert werden. 
Indessen kónnen auch alle drei neuen einwertigen Dinge mit demselben Ding 
verknüpft sein. Dieses Ding mufs dann dreiwertig sein. Die Paarsysteme, für 
welche dies eintritt, werden bei der Subtraktion der Zahl 3 (m — 1) An_2,n,p :2 
dreimal subtrahiert. Folglich muß ihre Anzahl wieder zweimal addiert werden, 
d.h. man muß die Zahl 2(m — 1) An-2,n,p addieren. Endlich muß die Zahl 
3Am-ı,n,p+ı Subtrahiert werden; denn sie ist die Anzahl der Paarsysteme, 
in denen zwei der drei neuen Dinge miteinander verbunden vorkommen. 
Alles muß zuletzt durch 6 dividiert werden; denn werden wieder die drei 
einwertigen Dinge durch das alte dreiwertige Ding ersetzt, so geben die 
6 Anordnungen der drei Dinge dasselbe Resultat. 
