1917. No.6. UNTERSUCH. ÜBER EINIGE KLASSEN KOMBINAT. PROBLEME. 57 
Es ist einleuchtend, daß in jedem Paarsystem, das aus zwei Reihen 
von Dingen so gebildet ist, daß jedes Paar des Systems ein Ding jeder 
Reihe enthält, jeder Zyklus! aus einer geraden Anzahl Elemente bestehen 
wird. Es ist aber bemerkenswert, daß man diesen Satz umkehren kann, 
d. h. wenn man ein Paarsystem aus drei-, zwei- und einwertigen Dingen 
gebildet hat, und jeder vorkommende Zyklus aus einer geraden Anzahl 
von Dingen besteht, so kónnen die Dinge, aus denen das Paarsystem 
gebildet ist, in der Weise in zwei Reihen geteilt werden, dafs jedes Paar 
des Systems ein Ding jeder Reihe enthält. 
Natürlich brauche ich diesen Satz nur für unzerlegbare Systeme zu 
beweisen, da er alsdann augenscheinlich auch für zerlegbare Systeme seine 
Geltung behalten muß. 
Es sei dann ein unzerlegbares Paarsystem gegeben, aus m drei-, 7 
zwei- und p einwertigen Dingen gebildet, in dem jeder Zyklus aus einer 
geraden Zahl von Dingen besteht. Es sei / eines der m ^» + Dinge. 
Dann kónnen wir eine Einteilung dieser Dinge in zwei disjunkte Klassen 
Kı und A, in folgender Weise bestimmen. Ein beliebiges Ding /' soll zu 
Kı gehören, wenn man von / bis zu /' durch Durchlaufen einer geraden 
Anzahl von Bindungen gelangen kann; es soll aber zu Ay gehören, wenn 
man von / bis ¢’ durch Durchlaufen einer ungeraden Anzahl von Bindungen 
gelangen kann. Das Ding ¢ soll natürlich dann zu A, gehören. Da das 
Paarsystem unzerlegbar ist, kann man jedenfalls von ¢ bis zu einem be- 
liebigen anderen Dinge in der einen oder der anderen Weise gelangen. 
Daß die Klassen A, und A, disjunkt sein müssen, ist sicher; denn kann 
man von 7 bis zu einem Ding /^ durch Durchlaufen einer geraden Zahl 
von Bindungen kommen, so kann man nicht von / bis ¢’ durch Durchlaufen 
einer ungeraden Zahl von anderen Bindungen kommen. Man würde nàmlich 
in dem Falle einen Zyklus, aus einer ungeraden Anzahl Dinge bestehend, 
erhalten, was gegen die Voraussetzung wäre. Jedes Paar des Paarsystems 
enthält außerdem augenscheinlich ein Ding der Klasse Ay und ein Ding 
der Klasse X,, wodurch die Behauptung bewiesen ist. 
Soll man also z. B. die Anzahl der Paarsysteme finden, die aus 2m 
dreiwertigen Dingen so gebildet werden kónnen, dafs alle vorkommenden 
Zykeln aus einer geraden Zahl von Dingen bestehen, so braucht man nur 
die Zahl A„,0,0:,0,o auszurechnen, wobei die gesuchte Zahl gleich 
(2m)! 
2 (m! 
m,0,0: m, 0,9 
ist. 
1 Unter einem „Zyklus“ verstehe ich eine Reihe 4, /5,...,/, von Dingen, wo /r mit 
tr+1 (r— 1, 2, ..., y — 1) und 7, mit 4 verbunden sind. 
