1917. No.6. UNTERSUCH. ÜBER EINIGE KLASSEN KOMBINAT. PROBLEME. 59 
Sind m,n, p gegeben, so können mit Hilfe dieser 3 Gleichungen 3 der 
6 Zahlen u durch die 3 anderen ausgedrückt werden. 
Es mag jetzt von Interesse sein, die Anzahl der Paarsysteme zu finden, 
die aus m dreiwertigen, # zweiwertigen und p einwertigen Dingen so ge- 
bildet werden können, daß jede der Zahlen « einen bestimmten Wert 
erhält. Ich will dieses Problem hier nur in dem speziellen Fall p — 0 
behandeln. Dann ist natürlich 4; = 4,2 = 14,3 — 0, und es bleiben die 
zwei Gleichungen 
2u3,3 + Usa = 6m, 
19.3 + 22,2 2n, 
übrig, indem ich jetzt 2» statt m schreibe; denn die Zahl der dreiwertigen 
Dinge muß ja, wenn p — 0 ist, gerade sein. Wird nun z. B. 42,3 gewählt, 
so werden 4 2 und 43,3 dadurch bestimmt. Ich will die gesuchte Zahl mit dem 
Symbol C»,,^,4 bezeichnen. C»w»»,,4 Sol also die Anzahl der Paar- 
systeme sein, die aus 2 dreiwertigen und » zweiwertigen Dingen in der 
Weise gebildet werden können, daß #23 der Paare ein dreiwertiges und 
ein zweiwertiges Ding enthalten. 
Werden in einem solchen Paarsystem die zweiwertigen Dinge mit den 
zugehörigen Bindungen entfernt, so bleibt eine Kombination der 2m drei- 
wertigen Dingen mit 42,3 freien Bindungen übrig — also ein us 3-wertiges 
Radikal! nach chemischer Bezeichnungsweise. Im allgemeinen Falle werden 
die freien Bindungen teils von yo der dreiwertigen Dinge, die in dem 
Radikal mit keinem der anderen dreiwertigen Dinge verknüpft sind, teils 
von yı der Dinge des Radikals, die mit einem der anderen Dinge verknüpft 
sind, und teils von y der Dinge, die mit zwei der anderen verknüpft sind, 
herrühren. Die Anzahl der möglichen Arten, dieses Radikal zu wählen, 
wird deshalb gleich 
(2m)! 2 C eU pol SE 
yo! v1! ya! (2m — yo — y1 — yg)! m-— y0—)1-—2: Yas 91 
Aa 
und außerdem muß 
[l2,8 — 34 + 251 + 72: 
In åhnlicher Weise erhålt man, wenn die dreiwertigen Dinge mit ihren 
Bindungen weggelassen werden, eine Kombination der » zweiwertigen Dinge, 
wobei 43 freie Bindungen vorkommen werden. Diese werden dann teils 
von oo der zweiwertigen Dinge, die mit keinem der übrigen verknüpft sind, 
1 Streng genommen braucht es nicht e7 Radikal im chemischen Sinne zu sein; es kann 
eine Sammlung mehrerer Radikale sein. Der Kürze halber nenne ich aber auch jede 
solche Sammlung ein Radikal. 
