1917. No. 6. UNTERSUCH. ÜBER EINIGE KLASSEN KOMBINAT. PROBLEME. 7I 
Da die Anzahl der Paare gleich ist, muß m + 5 eine 
3m + 2n + 5 
2 
gerade Zahl sein, oder wir kónnen es auch so ausdrücken: Es ist immer 
Amnp — 0, wenn m + p eine ungerade Zahl ist. Ich kann aber auch be- 
weisen, daß a,,,, — 0 ist, wenn m — 9 <— 2 ist. Dieser Satz ist jeden- 
falls gültig, wenn m — 0 ist; denn p muß dann entweder — 0 oder — 2 
sein, da ja ein unzerlegbares System, aus nur ein- und zweiwertigen Dingen 
gebildet, entweder einen Zyklus von nur zweiwertigen Dingen oder eine 
Kette von zweiwertigen, deren zwei Enden mit je einem einwertigen Dinge 
verknüpft sind, bilden muß. Weiter erhält man aus Gleichung I: 
n Am, np M (Rind wi p—1 + NE s 3,4 p—1 + n (n az: 1) Gg —1, n—1, p—1 EE oes +- 
n! Gg —1, 1; p—1)- 
Nimmt man also an, daf3 der Satz gültig ist, wenn die Zahl der drei- 
wertigen Dinge gleich m — 1 ist, so sind alle Glieder rechts in dieser 
Gleichung gleich null, wenn m —  —— 2, und folglich wird auch a, np — 0. 
Die Allgemeingültigkeit des Satzes ist hierdurch bewiesen. 
Wenn dagegen m — p + 2 eine nicht-negative gerade Zahl ist, so ist 
4» »p von null verschieden bis auf einige Ausnahmen, nämlich: 
Q9,1,0, @0,2,0, 1,01, Q1,1,1, 0200, 02,02, 02,10, @3,01- 
Zuerst will ich diese Behauptung für den Fall ? — 0 beweisen. Ist 
dann m eine gerade Zahl größer als 4, so kann man immer ein unzerleg- 
bares System von m dreiwertigen und # zweiwertigen Dingen dadurch 
£ d à ^ > m : : 
bilden, daß man sich ein Prisma mit a Kanten bildet und dann die 7 
dreiwertigen Dinge die Ecken dieses Prismas sein läßt, während man die 
n zweiwertigen Dinge in Ketten zwischen diesen dreiwertigen Ecken ein- 
schaltet. Man kann z.B. alle » Dinge in einer Kette zwischen zwei Ecken 
einschalten. Ist m» — 4, kann man die vier dreiwertigen Dinge als Ecken 
eines Tetraeders wählen und dann die zweiwertigen Dinge in Ketten ein- 
schalten. Hierdurch ist also bewiesen, dafs es immer unzerlegbare Systeme 
gibt, die aus m dreiwertigen und » zweiwertigen Dingen gebildet sind, 
wenn m gerade und >2 ist. Ist m — 2, so gibt es augenscheinlich kein 
System, wenn 4 — 0 oder n= 1 ist. Dagegen kann man im Falle m= 2, 
1 — 2 ein unzerlegbares System dadurch bilden, dafs man in einem Viereck 
eine Diagonale zieht; dann repräsentieren die durch die Diagonale ver- 
bundenen Ecken die zwei dreiwertigen Dinge und die anderen Ecken die 
zwei zweiwertigen Dinge. Hieraus folgt, daf auch immer unzerlegbare 
Systeme existieren, wenn m=2 und #>2 ist; denn man kann ein Viereck 
bilden, eine Diagonale ziehen und #—2 zweiwertige Dinge in Ketten 
