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einschalten. Ist 5;:4— 0, so gibt es immer unzerlegbare Systeme, wenn 
1 2 ist, da die zweiwertigen Dinge in einen Zyklus gestellt werden 
kónnen. 
Durch diese Betrachtungen haben wir also gefunden, daf3 es, wenn 
p =O ist, immer, und zwar nur dann, unzerlegbare Systeme gibt, wenn 
m eine gerade Zahl ist, wobei die Fälle 544— 2, » —1; m —2, 1 —90; 
m -—0,5-—2; m —0, 1 —1 ausgenommen werden. 
Wir betrachten nun den Fall, dafs p — 0 und m — » — 0 ist. Kann 
man dann ein unzerlegbares System S’ von m — p dreiwertigen, » + p 
zweiwertigen und keinen einwertigen Dingen bilden, so kann man auch 
ein unzerlegbares System .S von m dreiwertigen, # zweiwertigen und f 
einwertigen Dingen bilden, nämlich dadurch, daß man p der n+p zwei- 
wertigen Dinge in .S' mit p zweiwertigen Radikalen, deren jedes aus einem 
dreiwertigen und einem damit verknüpften einwertigen Dinge besteht, ersetzt. 
Ist m — p gerade und > 2, so ist dies zufolge des schon bewiesenen 
immer móglich. 
Ist #1 — p — 2 und n+ p > 1, dann ist es ebenfalls, wie wir schon 
sahen, immer möglich. Ist # + p— 1, so muß, da p > 0 sein soll, 7; — 0 
und p— 1 sein und folglich 77 — 3. In diesem Falle gibt es aber, wie 
man leicht feststellen kann, kein Paarsystem. 
Ist 77 — p — 0 und x+ p > 2, so gibt es immer unzerlegbare Systeme. 
Ist # +  — 2, so kann entweder m—1, n — 1, p— 1 sein oder m—2, 
n —0,5-— 2 sein. In diesen Fällen gibt es keine Paarsysteme, wie man 
leicht feststellt. Ist 7+p—1, so muß m=1, 4 —0, 5 — 1 sein, und 
in diesem Falle gibt es ebenfalls kein Paarsystem. 
Es bleibt dann nur der Fall m — p — — 2 übrig. Ist 54 — 0, $ — 2, 
so gibt es immer unzerlegbare Systeme; denn man kann eine Kette aus 
den zweiwertigen Dingen bilden und mit deren Enden die zwei einwertigen 
Dinge verbinden. In allen anderen Fällen kann man sich zuerst ein un- 
zerlegbares System von m + ^ zweiwertigen und p — m= 2 einwertigen 
Dingen bilden und dann m der zweiwertigen Dinge mit m zweiwertigen 
Radikalen, jedes aus einem dreiwertigen und einem damit verbundenen 
einwertigen Dinge bestehend, ersetzen. Man erhält hierdurch ein unzerleg- 
bares System von m drei-, 7 zwei- und p einwertigen Dingen. 
Es gibt also — bis auf die acht erwähnten Ausnahmen — immer 
m — p +2 
2 
unzerlegbare Systeme, wenn eine nicht-negative ganze Zahl 
ist, w. z. bw. w. 
In Gleichung I’ wird a,,,,; durch Zahlen a, deren letzter Index p—1 
ist, ausgedrückt. Durch wiederholte Anwendung von I’ kann man dann, 
