4 RICHARD BIRKELAND. M.-N. KI. 
Ces théorémes importants, d'oü découlent une foule d'autres, ne 
s'appliquent plus dans le cas plus général ou /es accélérations ne dérivent 
pas d'un potentiel. Par exemple dans le cas oü les forces extérieures sont 
non conservatives ou dans le cas oü la densité n'est pas fonction de la 
pression ou enfin dans le cas ou il existe un frottement entre les éléments 
du fluide. 
Dans ce cas j'ai obtenus quelques résultats qui me semble d'étre 
d'intérét. La plupart de ces résultats est communiqué dans un cours en 
1915 à d'École Technique Supérieur de Norvége. 
Les théorémes que nous allons déduire s'appliquent dans le cas oü 
les équations du mouvement sont de la forme 
e e As,» 2, 1), = B(x 9, 2, t), M C(x, 9, 8, Da 
A, B, C étant des fonctions continues uniformes de x, y, z à chaque 
instant ¢ dans toute l'étendue du fluide. En appliquant la transformation 
de Clebsch! ces équations deviennent 
du  2Q ey dv  93Q mi dw 20 ey 
di Dx n a^. di ey $e ou ee a 
ou OQ, 6, y sont des fonctions uniformes, continues de x, y, z, 4 Cette 
transformation n'est pas nécessaire pour démontrer les théorémes. 
Nous allons alors associer, à chaque instant /, à chaque élément fluide 
un certain vecteur solenoidal K de composantes f,q, r. Nous désignons ce 
vecteur par le nom: vecteur caracteristique associé à l'élément fluide considere. 
Si les accélérations dérivent d'un potentiel ce vecteur caractéristique se 
confond avec le tourbillon du méme élément. Mais, en général, le vecteur 
caractéristique est la différence géométrique du vecteur tourbillon (§, n, C) 
est un autre vecteur solenoidal P(À, u, v) qui depend du mouvement du 
fluide et qui est nul à l'instant initial choisi / — 0. Si les accélérations 
dérivent d'un potentiel le vecteur P est nul identiquement. 
Ce vecteur caractéristique K(f, q, r) joue maintenant, dans les théorèmes, 
le rôle du vecteur tourbillon. Nous allons voir qu'il faut dans les théorèmes 
précédentes remplacer le mot »tourbillon« par »vecteur caractéristique«. 
Pour préciser: désignons par le nom /rigze caractéristiques, à l'instant 4, 
les lignes qui admettent le vecteurs caractéristique X pour tangente en 
1 Si A, B, C sont trois fonctions de x, y, 2 il existe toujours trois fonctions ©, o, y des 
mémes variables telles que l'on ait identiquement 
Adx + Bdy + Cds = dQ + ody. 
(Transformation de Clebsch). Voir: Paul Appell, l. c. p. 453. 
