1918. No.2. SUR LE MOUVEMENT D'UN FLUIDE DANS LE CAS GENERAL ETC. 9 
En permutant a, d, c et uj, vo, Wy nous obtenons deux formules 
analogues. En introduissant 
QU Us , dUdy Ua DU aU ax SU | AU de 
3b ax db | oy 2b Oz db” CO Ox dc " dy dc ' 92 Ac’ 
et en suivant la méthode ! pour developper les formules de Cauchy nous 
obtenons de la formule précédente et les deux analogues 
Qo, — 3 = ox ex 
" p -0 Ya 110 4 ob + 6 Co ec 
LES » M 
(a) 0 q $0 2a TB 70 37 3 PME Lo ec 
00 oz ez ez 
pour calculer les composantes f, g, r du vecteur caractéristique K associé 
à cet élément fluide qui à l'instant ¢ occupait la position (x, y, z). Ces for- 
mules deviennent les formules de Cauchy si les accélérations dérivent d'un 
potentiel. 
Si, à l'instant / — 0, pour un élément fluide déterminé, le tourbillon 
2o(So, jo, Co) est nul le vecteur caractéristique K' (5, q, r) est nul pour ce 
méme élément à un instant posterieur quelconque ¢. Inversement. Si X 
est nul à l'instant /, Ko(fo, qo, ro) ou 2o(S0, go, Co) l'est aussi car le déter- 
minant D (formule 2(e)) est différent de zéro. Nous pouvons donc énoncer: 
19. Sz, à un instant, pour un element fluide determine, le vecteur carac- 
téristique est nul il est encore nul pour ce méme element à un instant postérieur 
quelconque. Si le vecteur caractéristique d'un élément n'existe pas il ne 
naitra pas et, si il est né, il subsistera. 
Soit fo (a, b, c) une fonction de a, 6, c telle que la surface 
fo (a, b, c) = const. 
soit une surface de tourbillon à l'instant / — 0. Désignons par f(x, y, 2, ¢) 
ce que devient /o(a,d,c) en remplacant a, 6, c par ses valeurs en fonction 
de x, y, z, { tirées des formules 2(a). Nous avons donc 
Jy 2, 1) — fo (a, 4; 6) = const. 
pendant le mouvement. La surface f(x, y, z, £) = const. est donc une sur- 
face fluide? qui varie de forme et de position avec le temps 4 En multi- 
1 Paul Appell, loc. cit. p. 334. Les formules de Cauchy sont les formules (21) et (2t). 
2 Si des éléments fluides sont, à un instant /9, disposés sur une surface Sp ou une ligne 
Lo, ces mémes éléments sont encore, à un autre instant quelconque / sur une surface 
S ou sur une ligne Z. Nous appellerons la surface S et la ligne Z, qui varient de 
forme et de position avec ¢ une surface fluide et une ligne fluide. 
