TH. SKOLEM. M.-N. KI. 
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Die wesentlichen Axiome, welche dem Klassen- oder Gebietekalkul zu 
Grunde liegen, sind bekanntlich die folgenden: 
le a. 
IL. Aus a<b und 6 <a gleichzeitig folgt a = 6 und umgekehrt. 
II. Aus a< 6 und zugleich b — c folgt a < c. 
IVx. Es gibt eine Klasse, die Nullklasse, die in jeder Klasse ent- 
halten ist. 
IV,. Es gibt eine Klasse, die Allklasse, die jede Klasse enthält. Man 
beweist mit Hülfe von II leicht, daß bloß eine Null- und bloß eine All- 
klasse existieren kann. Sie werden beziehungsweise mit o und 1 bezeichnet. 
Vs. Für zwei beliebige Klassen a und à gibt es immer eine Klasse, 
die sowohl in a wie in 6 enthalten ist und andererseits jede Klasse x 
enthält, welche sowohl in a als in 6 enthalten ist. 
Man beweist mit Hilfe von Il, daß auch nur höchstens eine solche 
Klasse existieren kann; sie wird das Produkt von a und genannt und 
durch ab bezeichnet. 
V.. Für zwei beliebige Klassen a und gibt es “mindestens eine 
Klasse, die sowohl a als 6 enthält und andererseits in jeder Klasse x 
enthalten ist, welche sowohl a als 6 enthält. 
Es kann dann infolge II nur eine solche Klasse existieren; sie wird 
die Summe von a und 6 genannt und durch a + 6 bezeichnet. 
VI. Zu jeder Klasse a gehört mindestens eine Klasse 6, sodaß nur 
die Nullklasse sowohl in a als in 6 enthalten ist, und gleichzeitig nur die 
Allklasse sowohl a wie 6 enthält. 
Vile. (a+ b)(a +c) C a bc für beliebige Werte von a, b und c. ! 
VIL. (a 4-£)c X ab + ac für beliebige Werte von a, 6 und co 
Man stellt bisweilen auch das folgende Axiom auf: Es ist o<{ı, also die Nullklasse 
echter Teil der Allklasse. Es hat doch wenig Bedeutung dieses Axiom hier in Betracht zu 
ziehen. In der angegebenen Form hat es nur dann einen Sinn, wenn sowohl eine Null- wie 
eine Allklasse existieren. Man kónnte es deshalb besser so ausdrücken: Wenn sowohl eine 
Null. wie eine Allklasse vorhanden sind, so sind sie verschieden (d. h. entweder gibt es 
keine Allklasse, oder es gibt keine Nullklasse, oder sie existieren beide und sind verschie- 
den) Dieses Axiom ist mit dem folgenden gleichbedeutend: Es gibt wenigstens zwei ver- 
schiedene Klassen. Dieses Axiom muß aber immer erfüllt sein, wenn auch nur eines der 
übrigen Axiome des identischen Kalkuls nicht erfüllt ist; denn hat man mit nur einer ein- 
zigen Klasse zu tun, so gelten ja alle die übrigen Axiome. Sind die übrigen Axiome gültig, 
kann das Klassensystem sowohl aus einer als auch aus mehreren Klassen bestehen. Hier- 
durch ist alles erledigt, was das zuletzt erwáhnte Axiom betrifft. 
1 Da auch die umgekehrte Subsumtion gültig ist, was aus Vx, V+ in Verbindung mit 
III leicht gezeigt wird, so kann man statt des Subsumtionszeichens gern das Gleichheits- 
zeichen schreiben. 
