1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. 5 
Man beweist bekanntlich mit Hülfe von den beiden letzten Axiomen, 
daß zu jeder Klasse a nur eine einzige Klasse 5 gehören kann, welche 
die in VI geforderte Eigenschaft hat. Diese wird dann mit à bezeichnet 
und das Negat von a genannt. 
Die folgenden Untersuchungen sollen nur die Axiome IV bis VII be- 
treffen. 
Theorem 1. Unter Voraussetzung der Gültigkeit von I, II, III sind 
die Axiome IV, IV4, Vx, V von einander vollständig unabhängig. 
Daß eine gewisse Zahl von Sätzen von einander vollständig unab- 
hángig sind soll bedeuten, dafs jede formal móglige Kombination von Gültig- 
keit und Ungültigkeit der Sätze auch wirklich möglich sind. Jede solche 
Kombination kann passend durch eine Reihe von Zeichen + und — be- 
zeichnet werden, indem jede Stelle der Reihe einen der Sätze markiert. } 
Im vorliegenden Falle können wir also alle formal möglichen Kombina- 
tionen durch Reihen von 4 Zeichen + oder — bezeichnen, sodaß z. B. 
die Reihe (+, +, +, +) die Gültigkeit aller 4 Sätze bedeutet, (+, —, +, +) 
dagegen, daß IVx, Vx und V. gültig sind, IV, aber ungültig, usw. Um 
dann die Richtigkeit des Theorems zu beweisen haben wir nur ein Bei- 
spiel jeder der 2? = 16 möglichen Kombinationen von + und — zu zeigen. 
Jedes System von Klassen läßt sich durch eine Figur, aus Punkten 
und Strichen bestehend, darstellen, indem die Punkte die Klassen und die 
Striche die Subsumtionsrelationen darstellen.” Die Striche müssen dann 
eine Richtung haben oder mit einem Pfeil versehen sein. Um aber die 
Hinzufügung von Pfeilen zu vermeiden kann man verabreden, daß die ge- 
zeichneten Striche immer von links nach rechts gerichtet sein sollen. Ich 
gebe für jede der 16 Beispiele, das erste triviale ausgenommen, eine solche 
illustrierende Figur, die hoffentlich ohne nähere Erlàuterung verständlich 
sein wird. 
Die Beispiele sind: 
1) (+, +, +, +). Eine einzige Klasse. Übrigens paßt hier jede 
«Gruppe» von Klassen in Bezug auf die drei Operationen des identischen 
Kalkuls. 
! Siehe z. B. die Abhandlung von Rareu D. BEETLE: On the Complete Independence 
of Schimmack's Postulats for the Arithmetic Mean. Mat. Ann., B. 76, p. 444. 
Ich habe dies in einem Vortrag, gehalten am dritten skandinavischen Mathematiker- 
kongreß zu Kristiania 1913, erwähnt. Siehe den Bericht des Kongresses, p. 163. 
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