1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. 9 
Die Beispiele sind so einfach als möglich gewählt. Sooft deshalb ein 
unendliches System von Klassen als Beispiel angegeben wird, ist ein Bei- 
spiel im Endlichen überhaupt nicht móglich. Für endliche Systeme von 
Klassen sind also die Fälle 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12 nicht móglich. Es 
gelten in der Tat für endliche Klassensysteme die Sätze: 
1x). Aus der Gültigkeit des Axioms V, folgt 
die Gültigkeit des Axioms IV... 
I.) Aus der Gültigkeit des Axioms V4 folgt 
die Gültigkeit des Axioms IV... 
Wenn nämlich irgend zwei Klassen ein Produkt besitzen, so existiert 
auch für eine beliebige endliche Zahl von Klassen ein zugehöriges Pro- 
dukt; wenn das Klassensystem endlich ist, gibt es deshalb ein Produkt 
von allen, welches dann die Nullklasse werden muß. Besitzen irgend 
zwei Klassen eine Summe, muß entsprechend eine Summe aller Klassen 
existieren, wenn das Klassensystem endlich ist, und diese Summe wird 
natürlich die Allklasse. 
Weiter gelten aber für endliche Klassensysteme auch die Sätze: 
2x). Wenn V, und IV. gültig sind, so folgt die Richtigkeit von V... 
2,) Wenn V. und IV, gültig sind, so folgt die Richtigkeit von V4. 
Denn wenn IV, gültig ist, so gibt es Klassen, z. B. die Nullklasse, 
die sowohl in a wie in 6 enthalten sind, wenn a und 6 zwei beliebige 
Klassen sind. Diese sowohl in a als in 5 enthaltenen Klassen sind aber 
blofs in endlicher Zahl vorhanden, wenn das ganze Klassensystem endlich 
ist. Ist nun auch V., gültig, gibt es eine Summe aller dieser Klassen, und 
diese Summe wird dann natürlich das Produkt von a und 6, d. h. das 
Axiom Vx wird gültig. — Entsprechend kann der Satz 2, bewiesen 
werden. 
Wünscht man die 6 Aussagen IVx, IV}, Vy, V4, VII und VIL, 
zu untersuchen, so muf3 bemerkt werden, daß VIL, und VII, keinen all- 
gemeinen Sinn mehr haben, falls die Axiome Vy, und V. nicht erfüllt 
sind. Ich beschränke deshalb hier die Untersuchung auf den Fall, dafs 
V.. und V, erfüllt sind — und außerdem wie früher die ersten Axiome I, 
II, III. Es gelten dann die folgenden Sätze: 
Theorem 2. Wenn I, II, III, Vx und V. gültig sind, so folgt VII 
aus VII, und umgekehrt. 
Beweis: Wenn (a + 6)c = ac+ bc für beliebige Werte von a, 6 
und c gültig ist, so folgt 
