1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. II 
8) (—, —, —). Ein Beispiel wird erhalten durch Hinzufügung zweier 
unendlichen Reihen von Klassen a; > > a3 > ... und eq <c<c<. 
zu den unter 5) erwähnten 5 Klassen, indem weiter a, Teil von a und 
€ Teil von c, sein muß. 
Will man das Axiom VI in Betracht ziehen, so setzt das die Existenz 
einer All. und einer Null-klasse voraus, indem es überhaupt keinen Sinn 
mehr hat, wenn IV. und IV, nicht gültig sind. Es ist deshalb berechtigt 
die Untersuchung darauf zu beschränken, wie es mit den Axiomen Vy, 
V.. und VI geht, wenn I, II, III, IV. und IV. erfüllt sind, und weiter 
wie es geht mit den Axiomen VI und VII, wenn I, II, III, IV, IV,, V. 
und V.. erfüllt sind. 
Theorem 4. Wenn I, II, III, IV« und IV. erfüllt sind, sind die 
Axiome Vs, V. und VI von einander vollständig unabhängig. 
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Beweis : 
I) (+, +, +). Identischer Kalkul. / 
2) (+, +, —) Drei Klassen a, 5, c, für welche a << 6 —c ist. 
3 (—, — +). Ein hier passendes Beispiel wird aus dem Beispiel 
für Fall 13) des Theorems 1 dadurch erhalten, dafs man eine Klasse e 
hinzufügt, welche a als echten Teil enthält, in d als echter Teil enthalten 
ist, keine der Klassen 64, à» c,, © enthält und endlich auch in keiner 
dieser Klassen enthalten ist. 
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4) (—, —, —) Hier pafs das Beispiel für 13) Theorem 1. 
5) (+, —, +). Ein Beispiel hierfür erhält man aus dem für Fall 9) 
des Theorems 1 angegebenen Beispiel durch Hinzufügung einer Klasse d, 
von welcher c echter Teil ist, während d echter Teil von a, ist, keine 
