1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. I3 
und óc und endlich auch die Summe ac + óc existieren, so ist diese letzte 
Summe auch das Produkt von a+ & und c. So aufgefafst könnten viel- 
leicht die Axiome VII auch gültig sein, selbst wenn die Axiome V nicht 
erfüllt sind. Ich gehe aber hier nicht näher auf diese Fragen ein. 
$ 2. 
Es gibt, wie ich jetzt zu zeigen gedenke, einen interessanten Klassen- 
kalkul, der den identischen Kalkul als Spezialfall enthält und in vielen 
Hinsichten bemerkenswert erscheint. 
Unter einem «Ring» von Klassen kónnen wir ein System von Klassen 
verstehen, für welches die Axiome Vx und V, ebenso wie natürlich die 
Axiome I, II, III gültig sind.! Ein Ring soll also eine Gruppe sein in 
Bezug auf Summen- und Produktbildung. Es mufs aber bemerkt werden, 
daß die Summe a + 6 zweier Klassen a und à eines Ringes R hier die 
kleinste sowohl a als 5 umfassende Klasse innerhalb des Ringes R be- 
deuten soll, und dafs ebenso das Produkt ab die größte innerhalb R vor- 
kommende Klasse bedeuten soll, welche sowohl in a als in à enthalten ist. 
Es besteht dann der durch das folgende Theorem ausgedrückte be- 
merkenswerte Zusammenhang zwischen den distributiven Gesetzen VII. 
und VII, einerseits und den Lösungen der Subsumtion ax< andererseits. 
Theorem 6. Hat innerhalb eines Klassenringes die Subsumlion 
ax <6 für beliebige Werte von a und b eine Lösung xo, welche jede Lö- 
sung dieser Subsumtion als Unterklasse enthält, so gilt die Gleichung 
a(b+c) = ab +ac (und nach Th. 2 dann auch die Gleichung (a+ b) (a +c) 
— abc) für beliebige Werte von a, b und c. 
Ist der Klassenring außerdem endlich, d. h. besteht er bloß aus end- 
lich vielen Klassen, so gilt auch das umgekehrte. Wenn also a(b + c) 
—=ab-+.ac ist für beliebige Werte von a, b und c innerhalb des Ringes, so 
hat die Subsumtion ax <b für beliebige Werte von a und b eine Lösung xo, 
die jede Lösung enthält. 
Beweis: Hat die Subsumtion ax < ab + ac eine Lösung xo, welche 
jede Lösung derselben enthält, so ist à x, und c<x,, da ja x — und 
x— c Lösungen dieser Subsumtion sind. Hieraus folgt aber dann à-4-c — xg, 
woraus a(6+c) — axo Zab+ac. Da selbstverständlich ab +ac< a (5 4- c) 
ist, haben wir in der Tat a{b+ c) = ab + ac. 
Gehen wir jetzt umgekehrt von der Gültigkeit des Gesetzes a (5 + c) 
— ab + ac aus, und verstehen wir unter einer Maximallósung der Sub- 
1 F. Hausporrr, Grundzüge der Mengenlehre, p. r4. 
